Álgebra Básica Guía 5: Axiomas De Cuerpo Y De Orden

iomas de cuerpo

1. Determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falso. Justifique determinando los axiomas y propiedades (en

caso de ser verdadero) y explicando o dando un contraejemplo (en caso de ser falso).

a) Existen dos números reales distintos x e y, tales que x + y = x y y + x = y

b) Para cualquier par de números reales x e y, se tiene que x + y = y + x.

c) Para cualquier par de números reales x e y, se tiene que x + y = x.

d) Todo número real posee inverso multiplicativo.

e) (ab) + (a · (-b)) = a · (b + (-b)) = a · 0 = 0, ∀a, b ∈ 

f) (1 – x) · y + xy = (y + -(xy)) + xy = y + (-(xy) + xy) = y

g) Existe un número real que sumado a cualquier otro da como resultado este último.

h) Si un número real es neutro para la suma, entonces su inverso aditivo también lo es.

i) Si un número real es neutro para la suma, entonces su inverso multiplicativo también lo es.

j) Si un número real x es neutro para la multiplicación, entonces su inverso aditivo también lo es.

k) Existen x1, x2, x3 ∈  , todos distintos entre sí, tales que x1 es el inverso aditivo de x2 y x2 es el inverso aditivo de x3.

l) Existe un número real que multiplicado por cualquier otro resulta él mismo.

m) El 0 no posee inverso aditivo.

n) Si a, b, c ∈  son tales que a · b = a · c, entonces necesariamente b = c.

o) Si x, y ∈  , son tales que x + y = 0, entonces necesariamente x = 0 ó y = 0.

p) Si x, y ∈  , son tales que x · y = 0, entonces necesariamente x = 0 ó y = 0.

2. Sea C un conjunto de números reales que satisface los siguientes propiedades (axiomas):

(A1) 2 ∈ C.

(A2) Si x ∈ C, entonces 3x + 1 ∈ C.

(A3) Si x, y ∈ C, entonces x + y ∈ C.

(A4) 3 ∉ C.

Demuestre las siguientes propiedades indicando qué axiomas, ya sea de los números reales o de los recién mencionados,

utiliza:

a) 9 ∈ C b) 1 ∉ C c) Si 5 ∈ C, entonces 22 ∈ C d) Si x, y ∈ C, entonces 3x + 1 + 3y ∈ C e) x ∈ C ⇒ –x ∉ C

3. Demuestre las siguientes propiedades de los reales:

a) –(–x) = x b) (-x) + (-y) = - (x + y) c) x (y – z) = xy – xz d) (xy) – 1 = x – 1 y – 1 e)

1

x y

y x

−

    =

 

f) ( )( ) 11 1 1 x y xy x y −− − − + =+ g) Si (ad) + (-(cb)) = 0, entonces [(a + b) · d] + [-((c + d) · b] = 0

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P

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