Teorema de extensión de isomorfismos

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA

[pic 1]

TEOREMA DE EXTENSIÓN DE ISOMORFISMO

ASIGNATURA:

Algebra II

Docente : Msc. Jorge Gustavo Velazques Rojas

INTEGRANTES:

Alexis Junior Achata Tito

Jhon Brayan Arocutipa Mamani

Diego Fernando Aduviri Escobar

Eduardo Rey Paye Villanueva

Tacna-Perú

2023

ISOMORFISMO

El concepto de isomorfismo es fundamental en toda la teoría de grupos, pues permite unificar una gran cantidad de grupos bajo una misma estructura en abstracto. En álgebra abstracta, un isomorfismo de grupo es una función entre dos grupos que establece una correspondencia uno a uno entre los elementos de los grupos de una manera que respeta las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se llaman isomorfos. Desde el punto de vista de la teoría de grupos, los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos.

El isomorfismo es un concepto fundamental en matemáticas que proviene del griego iso-morfos, que significa “igual forma”. Se utiliza para describir una correspondencia biunívoca entre dos estructuras algebraicas que preserva las operaciones. En otras palabras, si dos sistemas son isomorfos, significa que son estructuralmente iguales, aunque sus elementos y operaciones puedan ser muy diferentes.

Definición:

Dos grupos  son isomorfos y se escribe . sí existe una aplicación biyectiva  tal que para todos   se verifica que [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

[pic 6]

Teorema : si  es un isomorfismo entre ,  es la identidad de  entonces  es la identidad en . además :[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

Demostración :

Probaremos que   es la identidad de [pic 14][pic 15]

[pic 16]

En efecto:  ya que  es sobreyectiva tal que [pic 17][pic 18]

[pic 19]

análogamente

[pic 20]

por lo tanto  es la identidad en .[pic 21][pic 22]

así mismo:  [pic 23]

[pic 24]

[pic 25]

COMO MOSTRAR QUE DOS GRUPOS SON ISOMORFISMO

Se tendría que dar los siguientes procedimientos a partir de la definición, que dos grupos,   son isomorfismos.[pic 26]

Aplicándolo en el ejemplo siguiente :

Mostrar que   bajo la suma es isomorfismo a   bajo la multiplicación. [pic 27][pic 28]

Paso 1 Definir la función  que da el isomorfismo de . Esto significa describir de alguna manera, cual seria  en   .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

[pic 34]

                               [pic 35][pic 36]

Paso 2 Mostrar que es una función uno a uno.

Si [pic 37]

         [pic 38]

Paso 3 Mostrar que  es sobre .[pic 39][pic 40]

[pic 41]

 tal que  [pic 42][pic 43]

 sea   [pic 44][pic 45]

[pic 46]

Paso 4 Mostrar que  para todos  . Esto es solo cuestión de cálculos. Se calculan ambos lados de la ecuación y se ve si son iguales.[pic 47][pic 48]

[pic 49]

                                                    [pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

Por lo tanto [pic 54]

INTRODUCCION:

Para introducirnos en el tema isomorfismo de grupos se debe recordar saberes previos en el curso de algebra abstracta como: clases laterales, grupos normales, grupo cociente y núcleo de un homomorfismo.

1. HOMOMORFISMO DE GRUPOS:

Sean  dos grupos y  una función, diremos que f es un homomorfismo(morfismo) de grupos si [pic 55][pic 56]

[pic 57]

              para cualquiera [pic 58]

1. NUCLEO DE UN HOMOMORFISMO DE GRUPOS:

Sean  dos grupos y  es un homomorfismo de grupos, el Nucleo o Kernel es:[pic 59][pic 60]

[pic 61]

Ejemplo:

Sea  dos grupos[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

Núcleo o kernel del homomorfismo

[pic 65]

Entonces el  [pic 66]

OBSERVACION 1: El  (el núcleo es un subgrupo normal de G)[pic 67]

OBSERVACION 2: Se puede formar el grupo cociente [pic 68]

OBSERVACION 3: sea  subgrupo normal de ,  entonces [pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

1. PRIMER TEOREMA DE ISOMORFISMO

Sea  un homomorfismo con [pic 73][pic 74]

Sea  el homomorfismo canónico[pic 75]

Entonces  un único isomorfismo  tq [pic 76][pic 77][pic 78]

1. SEGUNDO TEOREMA DE ISOMORFISMO

Sea  un grupo,  y  entonces [pic 79][pic 80][pic 81]

1. [pic 82]
2.  y [pic 83][pic 84]
3. [pic 85]

[pic 86]

1. TERCER TEOREMA DE ISOMORFISMO

Sean  un grupo,  y subgrupos normales de   con . Entonces  y[pic 87][pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

DEMOSTRACIÓN.

Sean  un grupo, ,  con . Como , al conjugar elementos de  con cualquier elemento de , obtenemos elementos de . En particular, si conjugamos elementos de  con cualquier elemento de , obtenemos elementos de . Así obtenemos que .[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105]

...