PRINCIPIOS DE CONTEO Existen dos principios fundamentales

PRINCIPIOS DE CONTEO

Existen dos principios fundamentales:

1. Principio de Multiplicación. Si un suceso puede ocurrir, en forma independiente de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el suceso puede ocurrir de “m.n” veces diferentes. Ejemplo: Si Ana tiene 2 pantalones y 3 polos. ¿de cuántas maneras podría vestirse?  

Solución: Podrá vestirse: 2x3=6 maneras

1. Principio de Adición. Si un suceso puede escogerse de “m” veces y otro suceso de “n” veces,  entonces la elección del primer suceso o del segundo suceso se efectuará de “m+n” formas. Ejemplo: Entre dos pueblos hay 3 rutas para viajar en tren y hay 2 rutas para viajar en bus. ¿De cuántas formas se podrá viajar de una ciudad a otra?

Solución: se puede viajar:

3+2= 5

1. Permutación lineal. Son las diferentes ordenaciones que se pueden formar en línea abierta. Ejemplo: Se tienen 3 alumnos, ¿de cuántas formas se podrán formar en línea?

Solución: 

Utilizando fórmula de permutación:

[pic 1]

[pic 2]

1. Permutación circular. Son las diferentes ordenaciones que se pueden realizar formando una circunferencia. Ejemplo: Se tienen 3 niños que juegan a la ronda, ¿de cuántas formas podrán formar rondas?

Solución: Utilizando fórmula de permutación:

[pic 3]

[pic 4]

1. Permutación con repetición. Cuando se tienen “n” elementos tales que “k1” son elementos repetidos de una clase, “k2” elementos repetidos de una segunda clase y así sucesivamente, entonces el número de permutaciones se calcula así:

[pic 5]

Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar 8 fichas, de las cuales 3 son triángulos, 2 son círculos, 2 rectángulos y 1 cuadrado?

      Solución: Utilizando la fórmula:

[pic 6][pic 7]

Actividad

1. Juana quiere ir de Arequipa al Cuzco y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

1. María ha comprado 5 pantalones y 4 polos, ¿de cuántas formas se puede vestir combinando las prendas?

1. ¿Cuántos números, de 3 cifras distintas, se pueden formar con las cifras 1, 2 y 3?

1. ¿Cuántas ordenaciones lineales distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra revuelta?

1. ¿De cuántas formas distintas 6 atletas pueden llegar a la meta en una carrera de 200 metros?

1. Rosa tiene 6 blusas, 5 faldas y 4 pares de zapatos. Utilizando una de cada tipo de las prendas mencionadas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir?

1. Si en una facultad de la universidad se ofrecen 10 cursos diferentes por la mañana, 8 por la tarde y 4 por la noche. ¿Cuántas opciones diferentes tiene un estudiante de inscribirse en un solo curso?

1. Sobre una mesa se encuentran 7 esferas de igual tamaño, de las cuales 2 son rojas, 3 son blancas y las restantes verdes. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar dichas esferas en fila?

1. Al jugar a la ronda. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar con 3; 4 y 5 niños?

Autoevaluación

1. ¿De cuántas formas se pueden sentar un padre, su esposa y sus 3 hijos en una fila de 5 asientos?

A 60      B 120   C 24  

D 36      E N. A.

1. ¿Las mismas personas de la familia anterior de cuántas formas se sentaría en una mesa circular?

A 30              B 20    C 120    

D 34                E N. A.

1. Entre Lima y Huancayo hay 5 líneas de ómnibus y entre Huancayo y Ayacucho hay sólo 3 líneas. ¿De cuántas maneras puede una persona ir de Lima a Ayacucho?

A 24              B 18    C 15      

D 12                E N. A.

1. Siete corredores de una maratón, ¿de cuántas maneras distintas pueden llegar a la meta?

      A 5040          B 3110  C 2420  

      D 5550            E N. A.

PERMUTACIONES

1. ¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes?

1. Un total de 45 estrechadas de manos efectuaron al final de una reunión, suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás. ¿Cuál era el número de los participantes de la reunión?

1. Con 5 dígitos en orden aleatorio. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar?

1. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 4 hombres y 5 mujeres de modo que todas las mujeres estén juntas y los hombres por su lado?

1. ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar las 9 personas, de modo que la esposa y las novias estén juntos y a la derecha de sus respectivas parejas, si hay una esposa y 2 novios?

1. En un campeonato de fútbol, 12 equipos deben jugar todos contra todos, si llegan 3 equipos más. ¿Cuántos partidos adicionales deben jugarse?

1. La barra de una cafetería tiene 7 asientos en una fila. Si 4 personas desconocidas entre si ocupan lugares al azar. ¿De cuántas maneras diferentes pueden quedar los tres asientos restantes desocupados?

1. Se desea formar un comité de 8 seleccionados, 6 físicos y 2 matemáticos de un grupo de 10 físicos y 4 matemáticos. ¿De cuántas maneras podrá seleccionarse?

1. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?

1. En una competencia automovilística intervienen 5 autos A, B, C, D y E. ¿De cuántas maneras podrán culminar la competencia si el coche A siempre llega delante del coche B?

COMBINACIONES

Se forman diferentes grupos que pueden formarse tomando todos o algunos de los elementos de un conjunto, sin considerar el orden de sus elementos.

[pic 8]

Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 letras se  pueden formar con 5 letras?

Solución: [pic 9]

1. De la ciudad M a la ciudad N hay 3 caminos diferentes y de N a P hay 4. ¿De cuántas maneras diferentes ir de la ciudad M a la ciudad P?

1. La ecuación: x+y+z=5. ¿Cuántas soluciones enteras no negativas tiene?

1. A una heladería, donde venden cinco tipos de helados, asisten 3 hermanos. ¿De cuántas formas pueden comprar helados para cada uno de ellos?

1. ¿Cuántos números de tres cifras menores que 528 pueden obtenerse con los dígitos del 1 al 8?

1. Entre las ciudades A y P hay 4 caminos, entre P y S hay 5 caminos y entre S y C hay 3 caminos. ¿De cuántas maneras se puede viajar ida y vuelta sin regresar por el mismo recorrido?

1. Una moneda cuyos lados han sido marcados con los números 2 y 3 respectivamente es tirada 5 veces. Hallar el número de formas en las que se obtendrá como suma 12.

1. De un grupo de 25 futbolistas de los cuales 4 son delanteros, se quiere escoger grupos tres de manera que en el grupo siempre haya por lo menos 1 delantero. Hallar el número de grupos.

1. En una reunión hay 12 hombres y 7 mujeres; se desea formar grupos de 3 personas. ¿De cuántas maneras podrá hacerlo si deben de haber por lo menos 2 mujeres en el grupo?

AUTOEVALUAVÓN

1. ¿Cuántas ensaladas diferentes  se pueden preparar como máximo con 8 verduras diferentes?

A 8                 B 256       C 64    

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