Desarrollo Humano

INSTITUTO TECNOLOGICO

de Lázaro Cárdenas

INVESTIGACION I

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

12-14

MATERIA: CÁLCULO INTEGRAL

NOMBRE DEL ALUMNO: Liquidano Leyva Marcos Giovanni

CARRERA: INGENIERIA ELECTRÓNICA

GRUPO: 21S

SALON: M2

SEMESTRE ENERO-JUNIO/2012

FECHA DE ENTREGA: 4 de febrero del 2012

Medición aproximada de figuras amorfas

Los orígenes del cálculo están relacionados con los problemas clásicos: el problema de la recta tangente y el problema del área. En seguida se inicia la investigación del problema del área.

Aproximación del área de una región plana.

Emplear los cinco rectángulos de la figura 4.9 a) y b) para determinar dos aproximaciones del área de la región que se encuentra entre la grafica de

f(x)=-x^2+5

Y el eje x en x=0 y x=2

Solución

Los puntos terminales de la derecha de los cinco intervalos son 2/5 i, donde i=1,2,3,4,5. El ancho de cada rectángulo es 2/5, y l altura de cada rectángulo se puede obtener al hallar f en el punto terminal derecho de cada intervalo.

[0,2/5],[2/5,4/5],[4/5,6/5],[6/5,8/5],[8/5,10/5]

Evaluar f en los puntos terminales de la derecha de estos intervalos

La suma de las aéreas de de los cinco rectángulos es

∑_(i=1)^5▒f(2i/5)(2/5) =∑_(i=1)^5▒[-(2i/5)^2+5] (2/5)=162/25=6.48.

Como cada uno de los rectángulos se encuentra dentro de la región parabólica, se concluye que el área de la región parabólica, es mayor que 6.

Notación sumatoria

Esta sección se inicia introduciendo una notación conocida para sumas. Esta notación recibe el nombre de notación sigma debido a que utiliza la letra la letra griega mayúscula sigma, ∑.

Notación sigma

La suma de n términos a_1,a_2,a_3,…,a_n se escribe como

∑_(i=1)^n▒a_i = a_1+ a_2+a_3+⋯+a_n

Donde i es el índice de suma, a_i es el i-esimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1.

NOTA Los límites superior e inferior de la suma han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo, el límite inferior no tiene por qué ser 1. Cualquier entero menor o igual al límite superior es legítimo.

EJEMPLIO I Ejemplos con la notación sigma

∑_(i=1)^6▒i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

∑_(i=0)^5▒〖(i+1)〗 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

∑_(j=3)^7▒j^2 = 3^2 +〖 4〗^2 +〖 5〗^2 + 〖6 〗^2+ 7^2

∑_(k=1)^n▒〖1/n(k^2 〗+1) = 1/n(1^2+1) + 1/n(2^2+1)+⋯ +1/n(n^2+1)

∑_(i=1)^n▒〖f(x_(i ) 〗)∆x=f(x_1 )∆x+f(x_2 )∆x+⋯+f(x_n)∆x

En los apartados a) y b), observe que la misma suma puede representarse de maneras diferentes utilizando la notación sigma.

Aunque puede utilizarse cualquier variable como índice de suma, suele preferirse i,j y k. Nótese en el ejemplo 1 que el índice de suma no aparece en los términos de la suma desarrollada.

Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se deduce de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma y de la propiedad distributiva de la adición sobre la multiplicación. (En la primera propiedad, k es una constante.)

∑_(i=1)^n▒〖ka_i 〗=k∑_(i=1)^n▒a_i

∑_(i=1)^n▒〖(a_i 〗±b_i)=∑_(i=1)^n▒〖a_i±∑_(i=1)^n▒b_i 〗

El siguiente teorema lista algunas formulas útiles para la suma de potencias.

TEOREMA 4.2 Formulas de suma empleando la notación sigma

∑_(i=1)^n▒〖c=cn〗 3. ∑_(i=1)^n▒〖i^2=(n(n+1)(2n+1))/6〗

∑_(i=1)^n▒〖i=(n(n+1))/2〗 4. ∑_(i=1)^n▒i^3 =(n^2 〖(n+1)〗^2)/4

EJEMPLO 2 Evaluación de una suma

Hallar ∑_(i=1)^n▒(i+1)/n^2 para n=10,100,1 000 y 10 000.

Solución: Al aplicar el teorema 4.2, es posible escribir

∑_(i=1)^n▒(i+1)/n^2 = 1/n^2 ∑_(i=1)^n▒(i+1) Factor constante 1⁄n^2 fuera de la suma.

= 1/n(∑_(i=1)^n▒〖i+∑_(i=1)^n▒〖1)〗〗 Escribir como dos sumas.

= 1/n [(n(n+1))/2+n] Aplicar el teorema 4.2.

= 1/n^2 [(n^2+3n)/2] Simplificar.

= (n+3)/2n. Simplificar.

Suma de Riemann.

Estas sumas fueron inventadas por Bernhard Riemann para aproximar el valor de las integrales definidas (es decir definidas en intervalos del tipo [a, b]) y para elaborar un criterio de integrabilidad (es decir para saber que funciones son integrables, y según que método de cálculo).

Las sumas de Riemann más sencillas son las siguientes:

. Una suma de Riemann se interpreta como el área total de rectángulos adyacentes de anchura común y de alturas situados entre el eje de las abscisas y la curva de la función f (ver figura siguiente).

Definición de una suma de Riemann

Sea f definida en el intervalo cerrado [a,b], y sea ∆ una partición de [a,b]

Dada por:

a=x_0<x_1<x_2<⋯<x_(n-1)<x_n=b

Donde ∆x_i es el ancho de i-esimo subintervalo. Si c_i es cualquier punto

en el i-esimo subintervalo entonces la suma entonces la suma

∑_(n=1)^n▒〖f(c_i 〗) ∆x_(i, ) x_(i-1)≤c_i≤x_i

Se denomina una suma de Riemann de f para la partición ∆.

Si f es una función continua, la suma izquierda de Riemann con n sub divisiones iguales para f sobre el intervalo [a,b] se define como sigue.

Primero, se hace una partición del intervalo [a,b] en n partes iguales, como se muestra en la figura 1:

∆x=((b-a))⁄n

.x_0=a,

.x_1=a+∆x,

.x_2=a+2∆x,

Figura 1.

Luego, se suman los n productos f(x_0 )∆x,f(x_1 )∆x,f(x_2 )∆x,…,f(x_(n-1) )∆x, para obtener la suma de Riemann entonces,

Suma (izquierda) de Riemann = ∑_(n=0)^(n-1)▒〖f(x_k

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