Trigonometria Seno Coseno Tangente

MATEMÁTICAS TIMONMATE

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA Juan Jesús Pascual

TRIGONOMETRÍA

A. Introducción teórica

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes). A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica.

A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas.

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno.

B. Ejercicios resueltos

B.1. Razones trigonométricas. B.2. Ecuaciones trigonométricas. B.3. Problemas.

A. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

A.1 Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo:

Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo son las siguientes funciones:

La función seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.

Todas ellas pueden entenderse como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Veamos las expresiones de cada una de ellas referidas a los ángulos α y β del triángulo rectángulo aquí representado:

a) Para el ángulo α:

función seno función coseno función tangente

sen a cos b tg a

c c b

función cosecante función secante función cotangente

1 c 1 c 1 b

cosec   sec  cotg 

tg a

sen a cos b

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Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

b) Para el ángulo β:

función seno función coseno función tangente

sen b cos a tg b

c c a

función cosecante función secante función cotangente

cosec 1  c sec 1  c cotg 1  a

sen b cos a tg b

A.2. Valores del seno, coseno y tangente para ciertos ángulos significativos (en grados y radianes)

ángulo sen cos tg ángulo sen cos tg

0º 0 rad 0 1 0 60º  rad 3 1

3

3 2 2

 rad 1 1  rad

30º 3 90 1 0 

3

6 2 2 2

 rad

45º 2 2 1 180º  rad 0 –1 0

4 2 2

A.3. Significado geométrico de las razones trigonométricas en la esfera goniométrica

Se llama circunferencia goniométrica a aquella que tiene por radio la unidad. Para una circunferencia goniométrica es posible dar un sentido muy intuitivo a todas las razones trigonométricas. Vamos a verlo mediante el siguiente dibujo.

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TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

A.4. Relaciones entre las razones trigonométricas

a) Relaciones fundamentales:

El seno, el coseno y la tangente de un ángulo están relacionados mediante la siguiente igualdad:

senθ = tg θ cosθ

Por otro lado, se cumple la siguiente igualdad, estrechamente vinculada al teorema de Pitágoras:

sen2 θ+ cos2 θ= 1

b) Relaciones del ángulo suma–diferencia: sen    sen cos sen cos

cos   cos cos ∓sen sen

tg     tg tg 1 ∓ tg tg

c) Relaciones del ángulo doble

Es un caso particular del anterior en el que α y β son iguales.

sen 2   2sen cos

cos2   cos2  sen2

    2tg tg 2

1  tg2

d) Relaciones del ángulo mitad

sen2   1  cos

2 2

cos2   1  cos

2 2

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Ejercicios de trigonometría resueltos TIMONMATE

tg2   1  cos

2 1  cos

A.5. Resolución de triángulos: Teoremas del seno y del coseno

Sea el siguiente triángulo. ¡No hace falta que sea rectángulo! Se verifican las siguientes dos expresiones, conocidas como teorema del seno y teorema del coseno.

A

c b

B C

a

a) Teorema del seno: a  b  c

senC

senA senB

b) Teorema del coseno: a2  b2  c2  2bccosA

B. EJERCICIOS RESUELTOS

B.1. Cálculo de razones trigonométricas

1. Sabiendo que senα= 0,86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas

Solución:

Las razones trigonométricas directas son el seno, el coseno y la tangente, y las inversas la cosecante, la secante y la cotangente. Vamos a relacionar todas ellas con el seno, que es el dato que nos dan:

• senα= 0,86

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TIMONMATE Ejercicios de trigonometría resueltos

• El coseno se deduce a partir de la ecuación fundamental

sen2  cos2  1 :

sen2 θ+ cos2 θ= 1 ⇒ cos2 θ= 1 − sen2 θ ⇒ cosθ= 1− sen2θ

Sustituyendo datos:

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