Topografia - Ley Del Seno Y Coseno

MARCO TEORICO

• TEOREMA DEL SENO.

El teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces, relación con el área del triángulo

Dos fórmulas para calcular el área de un triángulo Para un triángulo ABC, el área se calcula como ah/2 donde h es la medida de la altura sobre la base a. Nuevamente, por definición de seno, se tiene sen C = h/b o lo que es lo mismo h = b sen C, de modo que se cumple.

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

En el triángulo AC´C se verifica de donde

h c = b × sen(A)

Análogamente en el triángulo BC´C y obtenemos

h c = a × sen(B)

Igualando ambas expresiones resulta la igualdad a × sen(B) = b × sen(A) expresión equivalente a

Igualmente podemos considerar los triángulos rectágulos AA´C y ABA al trazar la altura relativa al vértice A. Mediante un razonamiento análogo al anterior obtendremos

De las expresiones obtenidas podemos deducir que

expresión conocida como teorema del seno (o de los senos) y que demuestra que la relación que existe entre los lados de un triángulo y los senos opuestos es siempre la misma.

El teorema es válido para cualquier tipo de triágulo.

En el triángulo obtusángulo de la figura si consideramos la altura h crelativa al vértice C, en el triángulo rectángulo AC´C resulta h c = b × sen(A) y en el triángulo rectángulo BC´C

sen(δ) = sen(180 - B) = sen(B) = h c/a

de donde h c = a × sen(B).

Igualando ambas expresiones obtenemos

Si consideramos la altura h a o bien h b y razonando de forma análoga obtenemos nuevamente la expresión.

A partir del Teorema del Seno podemos relacionar fácilmente una triángulo con la circunferencia circunscrita al mismo.

Si consideramos el triángulo ACB y es BM = d el diámetro de la circunferencia circunscrita, el triángulo BMC es recto en C y los ángulos A y M son iguales (pues abarcan el mismo arco BC).

De todo ello resulta que sen(A) = sen(M) y como sen(M) = a/d

Es decir, que en cualquier triángulo la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Una demostración vectorial del Teorema del Seno

(En lo que sigue, las magnitudes vectoriales se designan en negrita)

Efectuamos el producto vectorial AB × AC.

Como AB = AC + CB y el producto vectorial es distributivo respecto a la suma de vectores, resulta

AB × AC = (AC + CB) × AC =

= AC × AC + CB × AC = CB × AC

Repitiendo el mismo procedimiento, ahora teniendo en cuenta queAC = AB + BC

AB × AC = AB × (AB + BC) =

= AB × AB + AB × BC = AB × BC

Es decir, los vectores AB × AC, CB × AC y AB × BC son iguales y por tanto tienen el mismo módulo

| AB × AC | = | CB × AC | = | AB × BC |

Como

| AB × AC | = | AB | | AC | sen(A) = c b sen(A)

| CB × AC | = | CB | | AC | sen(C) = a b sen(C)

| AB × BC | = | AB | | BC | sen(B) = c a sen(B)

es decir

c b sen(A) = a b sen(C) = c a sen(B)

y dividiendo esas igualdades por abc, se obtiene el teorema.

• TEOREMA DEL COSENO.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

El teorema se utiliza en triangulación para resolver un triángulo, y saber determinar

El tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes.

Es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

(de una manera explicita):

En el triángulo rectángulo AC´C se verifica

b 2 = m 2 + hc2

siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la altura relativa al vértice C.

Si m y n son las proyecciones ortogonales de los lados b y a sobre el lado c y consideramos el triángulo rectángulo BC´C resulta

a 2 = hc2 + n 2 = hc2 + (c - m) 2 =

= (hc2 + m 2) + c 2 - 2cm = b 2 + c 2 - 2cm

Expresión que proporciona el valor delcuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo

Como en el triángulo rectángulo AC´C es m = b×cos(A), si sustituimos en la expresión anterior

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos(A)

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo comprendido.

En el triángulo rectángulo AC´C se verifica

b 2 = m 2 + hc2

siendo m la proyección ortogonal del lado b sobre c y hc la altura relativa al vértice C.

Sea el triángulo BAC obstusángulo en A. Si m es la proyección ortogonal del lado b sobre c tendremos

a 2 = hc2 + (c + m) 2 = c 2 + 2mc + (m 2 + hc2) =

= b 2 + c 2 + 2cm (*)

Expresión que proporciona el valor delcuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso

Como en el triángulo AC´C resulta que

m

...