Ley De Coseno

Ley del Coseno

Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple la relación:

2 2 2 c a b ab cosC = + − 2

(Observe que la relación es simétrica para los otros lados del triángulo.)

Para demostrar este teorema, dibujemos nuestro triángulo ABC, y tracemos la

altura AD hacia el lado BC.

Es fácil observar que el triángulo ABD es rectángulo en D. Por lo tanto, por el

teorema de Pitágoras, tenemos que:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

2

c AD BD

c AD ( a CD)

c a ( AD CD ) aCD

CD c a b ab cosC   Note  que cosC .

b

= +

= + −

= + + −

  = + − =    

Aplicando el mismo procedimiento a los otros lados del triángulo obtenemos las

siguientes relaciones:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

c a b ab cosC 

a b c bc cos A

b a c ac cos B

= + −

= + −

= + −

No hay que olvidar la importancia de este teorema, pues nos puede servir en algún

momento para hallar las longitudes de ciertos lados de triángulos o en ocasiones

conocer la medida del ángulo que forma dos rectas.

Vemos cómo funciona, con unos cuántos ejemplos:

A B

C

D

b

c

aLey del Coseno 2

Ejemplo 1.

Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°.

Determine la longitud del tercer lado.

Solución.

Supongamos que a = 6, b = 10, ∠ = ° C 120 , y el tercer lado es c. Entonces por la

Ley de Cosenos tenemos que:

2 2 2

2 2 2

2

2

2

6 10 2 6 10 120

1

36 100 2 6 10

2

196

c a b ab cosC 

c ( )( )cos

c ( )( )

c

= + −

= + − °

  = + − −   

=

Por lo tanto c = 14.

Ejemplo 2.

Un triángulo ABC tiene lados AB = 3 , BC = 1 y AC = 2. Determine las medidas

de sus ángulos.

Solución.

En este caso, tenemos que c = 3 , a = 1 y b = 2. Entonces aplicando la ley de

Cosenos obtenemos:

( )

2 2 2

2

2 2

2

3 1 2 2 1 2

1

2

          c a b ab cosC 

     ( )( )cosC

cosC

= + −

= + −

⇒ =

Por lo tanto ∠ = ° C 60 .

Por otra parte tenemos que:

( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2

2 2

2

1 2 3 2 2 3

3

2

          a b c bc cos A

         cos A

  cos A

= + −

= + −

⇒ =

...