Distribución Muestral de la Media

Distribución Muestral de la Media

La media y la varianza de medias muestrales

En esta parte del curso de estadística se trabajara con muestras con tamaño igual a “n” observaciones de una población con media µ y varianza σ2. Antes de analizada la muestra presentara incertidumbre sobre los resultados obtenidos referentes al parámetro analizado. Esta incertidumbre se debe a que cada una de las observaciones de la muestra es una variable aleatoria con media µ y varianza σ2. Nuestro principal objetivo es analizar la distribución muestral de la media muestral ¯X. Para lograr nuestro objetivo primeramente debemos determinar la media µ_¯X y la varianza σ_¯X^2 de esta distribución. La respectiva desviación estándar σ_¯X se conoce como Error Estándar de ¯X.

Ejemplos:

Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las PIMES en una ciudad se distribuyen normalmente con una media de 12,2% y desviación estándar de 3,6%. Si se toma una muestra aleatoria de 9 observaciones de esta población según los incrementos porcentuales de salario, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10%?

Solución:

µ = 12,2 σ=3,6 y n = 9. Nos piden calcular P(¯X >10). Como se desconoce el tamaño de la población, se supondrá que la misma es infinita. Entonces, según lo mostrado en el Cuadro 1, la media y el error estándar de la distribución muestral de ¯X son:

µ_¯X=µ=12,2 y σ_¯X= □(σ/√n)=1,2

Por ende, la probabilidad requerida es:

P(¯X>10) = P (□( (¯X- µ_¯X)/σ_¯X > (10- µ_¯X)/σ_¯X ))=P(Z> □( (10- µ_¯X)/σ_¯X ))= P(Z> □( (10- 12,2)/1,2))=

P(Z> -1,83)= 1-P(Z ≤ -1,83)

Como la población posee una distribución normal y la varianza poblacional es conocida, entonces, de acuerdo a lo mencionado en la introducción del tema, la distribución muestral de la media muestral es normal o, lo que es equivalente, la variable Z es normal estándar. Por lo tanto, teniendo ɸ es la función de distribución normal estándar, entonces, de la tabla normal, tenemos que:

P (¯X>10) = 1-P(Z ≤ -1,83) = 1 - ɸ(-1,83) = 1 - 0,0336=0,9664

Se concluye, que la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10% es de 96,64%.

Un fabricante declara que la duración de las llantas que él fabrica sigue una distribución normal con una media de 36.000 kilómetros y una desviación estándar de 4.000 kilómetros. Para una muestra aleatoria de dieciséis llantas, se obtuvo una duración media 34.500 kilómetros. Si la afirmación del fabricante es correcta, ¿Cuál es la probabilidad de obtener una media muestral tan pequeña como ésta o menor?

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