LA INTRODUCCION AL ANALISIS VECTORIAL

INTRODUCCION AL ANALISIS VECTORIAL

El análisis vectorial es un lenguaje matemático muy preciso que nos facilita el análisis de campos magnéticos y eléctricos. El análisis vectorial nos ayudara mucho como una herramienta matemática.

ALGEBRA VECTORIAL

El álgebra vectorial es la rama de las matemáticas que está relacionada con el manejo de operaciones con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación.

Suma de vectores:

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

La suma de vectores está bien definida si ambos vectores pertenecen al mismo espacio vectorial, en física para que dos vectores puedan ser sumados deben estar aplicados en el mismo punto. La composición de fuerzas sobre un sólido rígido cuando los puntos de aplicación no coinciden lleva a la noción de momento de fuerza dados dos fuerzas F1, F2 con puntos de aplicación P1, P2 se definen la fuerza resultante como el par:

[pic 2]

Donde [pic 3] es la suma generalizada a vectores aplicados en diferentes puntos. El punto de aplicación PR es el punto de intersección de las rectas de acción de las fuerzas. Las componentes del vector de fuerza resultante es de hecho la suma de componentes ordinarias de vectores:

[pic 4]

El momento resultante es el momento de fuerza del conjunto de fuerzas respecto al punto calculado.

Ejemplo de resta de vectores:

Este método lo resolvemos por el método de paralelogramo:

[pic 5]

Se encuentra el punto opuesto del vector b:

[pic 6]

Encontramos la resultante trazando las líneas paralelas en cada vector para formar el paralelogramo:

[pic 7]

Ejemplos de multiplicación:

[pic 8]

SISTEMAS DE CORDENADAS

Coordenadas ortogonales.

Un sistema de coordenadas ortogonales es aquel que cuyas coordenadas son mutuamente perpendiculares.

También este tipo de coordenadas pueden definirse sobre un espacio euclídeo más generalmente sobre una variedad más diferencial.

Coordenadas cartesianas.

Longitud, área y volumen son diferenciales en las coordenadas cartesianas.

[pic 9]

También estas coordenadas son utilizadas para la representación gráfica de una función o en geometría analítica, o del movimiento en oposición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales en sus puntos de origen entre sí. El plano cartesiano se utiliza para asignarle una ubicación a cualquier punto en el plano.

Las coordenadas cartesianas se utilizaron para definir un sistema cartesiano o un sistema de referencia respecto ya sea un solo eje, respecto a dos ejes o a tres.

Coordenadas cilíndricas.

Este sistema de coordenadas es útil para resolver problemas que presentan una simetría de tipo cilíndrico. Como ejemplo calcular la capacitancia por unidad de longitud en una línea de transmisión coaxial.

[pic 10]

Coordenadas esféricas.

En este sistema, la ubicación de un punto en el espacio se especifica únicamente por las variables R, θ y ϕ. La coordenada R, que en ocasiones se llama coordenada de rango. Describe una esfera de radio R con centro en el origen. El ángulo cenit θ se mide a partir del eje z positivo y describe una superficie cónica con su vértice en el origen y el ángulo azimutal ϕ es el mismo como en el sistema de coordenadas cilíndricas. Los rangos de R, θ y ϕ son 0 ≤ R < ∞, 0 ≤ θ < π y 0 ≤ ϕ < 2π

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