ANÁLISIS VECTORIAL

ANÁLISIS VECTORIAL

1. VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo y la dirección. El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.

2. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son:

: tiene dirección del eje X positivo.

: tiene dirección del eje X negativo.

: tiene dirección del eje Y positivo

: tiene dirección del eje Y negativo

: tiene dirección del eje Z positivo.

: tiene dirección del eje Z negativo.

• El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida:

• Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares:

• En el espacio tridimensional el vector tiene tres componentes:

EJEMPLO 01: Se tiene un vector . Determine el módulo del vector.

Resolución

Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal.

Respuesta: el módulo del vector es 13.

3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.

EJEMPLO 02: Determine el vector unitario del vector:

Resolución

El vector unitario se define como:

El vector unitario es:

4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano.

En el sistema cartesiano tridimensional vector tiene tres componentes rectangulares:

Designamos con los ángulos que el vector hace con los ejes cartesianos X, Y y Z, respectivamente.

Tenemos tres componentes:

, , …(1)

Cálculo del módulo del vector: …(2)

reemplazando (1) en (2) tenemos:

Entonces el vector unitario de es:

5. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores , su producto escalar o interno se representa por , y se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es: , donde

Debemos enfatizar que es un número real, (positivo, negativo o nulo), y no un vector.

PROPIEDADES

I. Se cumple la propiedad conmutativa:

II. Propiedad Distributiva:

III. Vectores paralelos:

IV. Vectores ortogonales:

V. Dado los vectores: y

VI.

VII.

VIII. Cuadrado del módulo:

IX. Si y ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares.

6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores , su producto vectorial o externo se representa por otro vector , que se denota como . Su módulo se define como el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman entre sí, esto es:

, donde

Debemos enfatizar que es perpendicular al plano formado por los vectores .

Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector B y el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo gira en el sentido desde A hacia B.

PROPIEDADES

I. Si , entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos.

II. Anti conmutativo:

III. Propiedad Distributiva:

IV. Vectores paralelos:

V. Vectores ortogonales: , ,

VI. Dado los vectores:

y

entonces se cumple que:

X. El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes es:

XI. El área de la región triangular formado por los vectores es:

7. TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar y vectorial de tres vectores se forma:

PROPIEDADES:

I. El producto triple escalar es un número real:

II.

III. El valor del “triple producto escalar” representa el volumen de un paralelepípedo de aristas

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