Practicas

DISTRIBUCIÓN NORMAL, PRUEBA DE NORMALIDAD Y TRANSFORMACIÓN DE DATOS

CONTENIDO

1. Distribución normal

2. Estandarización de valores

3. Prueba de normalidad

4. Transformación de datos

5. Ajuste de datos con otras distribuciones de probabilidad

LA DISTRIBUCIÓN NORMAL, PRUEBA DE

NORMALIDAD, TRANSFORMACIÓN Y AJUSTE DE DATOS

1. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de especificaciones y del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador capacitado, y el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en alguna característica del producto, mostrará el siguiente comportamiento:

Fig. 1 Construcción de la distribución normal

La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.

Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada también campana de Gauss por su forma acampanada.

Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se indican con letras griegas, tales como: promedio o media =  (mu), y desviación estándar (indicador de la dispersión de los datos) =  (sigma).

Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.

Propiedades de la distribución normal estándar

• La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar =1. La media, Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico.

Fig. 2 Propiedades de la distribución normal

• El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.

• La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.

• La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.

• La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros , por lo que hay un número infinito de distribuciones normales.

Límite inferior de especs. Límite superior de especificaciones

Fig. 3 Distribuciones normales con varias desv. estándar

LIE LSE

Fig. 4 Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar

Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la desviación estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para tiene un porcentaje de 68.26%, = 95.46% y .

Fig. 5 Área bajo la curva de Distribución normal

Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx =distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).

En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.

La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.

Ejemplo 1

a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1.

P(Z<= -1) = 0.1587

b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2.

P(Z<= - 2) = 0.0228

c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1

P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1259

Ejemplo 2

a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1.

P(Z <= 1) = 0.8413

b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2.

P(Z <= 2) = 0.9772 8

c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2

P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369

EJERCICIO 1:

¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está incluido dentro de los siguientes rangos?

a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =

b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =

c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =

d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =

e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =

f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =

2. Estandarización de valores reales

En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con desviación estándar diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área bajo la curva, se determina el número de desviaciones estándar Z entre algún valor X y la media de la población o de la muestra X como sigue:

sí se consideran los datos completos del proceso.

sí se consideran sólo los datos de una muestra.

Ejemplo 3 El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de los solicitantes

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