Proposiciones, Logica Matematica
Enviado por Softy PiilloW • 1 de Diciembre de 2021 • Apuntes • 7.251 Palabras (30 Páginas) • 450 Visitas
Proposiciones
La proposición constituye el componente fundamental de la lógica.
Según señala ………… Una proposición es todo enunciado, del cual se puede decidir si su contenido es verdadero o falso, excluyendo la posibilidad que sea simultáneamente verdadero o falso.
Todo enunciado en forma exclamativa, deseo, orden o pregunta no es proposición, ya que no se puede determinar si es verdadero o falso.
Los siguientes enunciados son ejemplos de proposiciones:
Hoy es lunes
Venezuela está en África
La temperatura ambiente en este momento es de 15°C
3 es un número par
Estos enunciados son proposiciones porque podemos afirmar que es verdadero o falso.
Los siguientes enunciados no son ejemplos de proposiciones:
Alicia es una mujer muy bella: (puede ser simultáneamente verdadero o falso ya que la belleza es subjetiva, para unas personas puedes ser bella pero para otras no)
¿Hoy es viernes? (es una pregunta por lo tanto no es proposición)
¡Llegaste ! (es una exclamación no es proposición)
Representación
Las proposiciones se representan en forma simbólica utilizando las ultimas letras del alfabeto: p, q, r , s, t ………, x, y, z , de esta forma se simplifica la escritura de los argumentos verbales, quedando bien definidos y sin presentar las imprecisiones que se pueden presentar con el lenguaje natural.
De esta forma se pueden representar en forma simbólica las siguientes proposiciones.
Sea p= Hoy es viernes
q= 8 es mayor que 3
r= Cristóbal Colón nació en Italia
En el lenguaje diario se pueden hacer enunciados como los siguientes.
No está haciendo sol
María estudia física y Luis estudia Matemática
Comes queso amarillo o comes queso blanco
Si apruebas tres evaluaciones entonces apruebas la asignatura
3 e un número primo si y solo si es divisible por 3 y por 1
Se puede ver que los términos resaltados (y, O …..o ; si … entonces; no ; si y solo sí) se encargan de unir los enunciados mostrados, relacionando uno con el otro.
Tabla 1
Los Conectivos lógicos y sus símbolos
[pic 1]
Partiendo de esta información se pueden escribir los enunciados anteriores de la siguiente manera:
[pic 2]
Clasificación según su forma
Existen dos clases de proposiciones.
- Proposiciones Atómicas o Simples: son proposiciones sin términos de enlace (conectivos).
- Proposiciones Compuestas o Moleculares: son las proposiciones que contienen términos de enlace (conectivos).
EJEMPLOS
- Hoy es sábado (ATÓMICA)
- El niño está llorando (ATOMICA)
- El viento sopla muy fuerte (ATOMICA)
- El amigo de Juan tiene razón (ATOMICA)
- Este no es mi día feliz (MOLECULAR)
- Si usted se da prisa entonces llegará a tiempo (MOLECULAR)
- Si x + y = z entonces z > 0 (MOLECULAR)
- María está aquí o Elena está en casa (MOLECULAR)
- A la vez llueve y sale el sol (MOLECULAR)
- O Jaime es puntual o Tom llega tarde (MOLECULAR)
Conectivos lógicos
Los términos de enlace de proposiciones o simplemente términos de enlace son aquellos que unen las proposiciones. Los términos de enlace, que se utilizaran son: “… y …” , “…o …” , “o...o...”, “si … entonces …” , “… si y solo si…”
Recuérdese que al añadir un término de enlace a una o dos proposiciones atómicas se forma una proposición molecular. El termino de enlace “no” actúa sobre una sola proposición. En adelante a los términos de enlace se le llamarán “CONECTIVOS LÓGICOS”.
Para representar los conectivos lógicos (términos de enlace) se utilizarán los símbolos que aparecen en la tabla siguiente:
Tabla N°2.
Representación de Conectivos lógicos
[pic 3]
La traducción de enunciados en lenguaje natural al lenguaje del cálculo proposicional, no tiene asignadas reglas especiales, sin embargo, en esta tabla se tiene una buena aproximación
Simbolización de las proposiciones
Ahora bien, como simbolizar proposiciones a partir de enunciados dados en lenguaje natural?
Sea el anunciado siguiente:
Ejemplo N°1: Ramón es su hermano, y o Rosa es su hermana o Daniel es su hermano
Primero debe escribirse la forma lógica de la proposición utilizando signos de agrupación, esta forma lógica depende de cómo se realice la lectura y permite determinar cuál es el conectivo principal o dominante, que es el que actúa sobre toda la proposición.
Se tiene entonces, (Ramón es su hermano), y ( o Rosa es su hermana o Daniel es su hermano).
Una vez realizado este paso se identifican las proposiciones y se les asigna una letra, generalmente minúscula.
p : Ramón es su hermano
q: Rosa es su hermana
r: Daniel es su hermano
Se identifican los conectivos:
Y : Conjunción : Ʌ
O ….0 : Disyunción Exclusiva :
Forma lógica: ( ) Ʌ ( ( ) ˅ ( ) )
Forma Simbólica: p Ʌ ( q ˅ r )
Ejemplo N°2: Caracas o es la capital de Venezuela o es la capital del Perú. No es la capital del Perú. Por lo tanto, es la capital de Venezuela.
Utilizando los signos de agrupación se tiene:
[( Caracas o es la capital de Venezuela o es la capital de Perú) .(No es la capital del Perú)]. Por lo tanto, ( es la capital de Venezuela).
Proposiciones:
p : Caracas es la capital de Venezuela
q: Caracas es la capital del Perú
Conectivos:
O ……0 : Disyunción Exclusiva :
( . ) Conjunción : Ʌ ( signo de puntuación: punto )
No : Negación : ~
Por lo tanto: Condicional →
Forma lógica:
[ ( p ˅ q )Ʌ ~q ] → p
Ejemplo N°3: La abeja es un ser admirable y utilísimo, pero no es dócil.
Usando signos de agrupación:
(la abeja es un ser admirable) (utilísimo), (no es dócil)
p: la abeja es un ser admirable
q: la abeja es un ser útil
r: la abeja es dócil.
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