Antecedentes históricos del calculo Antecedentes históricos 1.1.1 Lo infinitesimal en el mundo griego

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

1.1 Antecedentes históricos

1.1.1 Lo infinitesimal en el mundo griego

En los primeros intentos de tener un pensamiento crítico, analítico y matemático, se llegó a concepciones de índole infinitesimal, así apareció el problema de la continuidad de los entes geométricos, la divisibilidad de los segmentos al infinitum o la existencia atomística de partes intrínsecamente indivisibles.

Con el descubrimiento de la filosofía pitagórica se afirmó que las diagonales del pentágono se cortan según su “media y extrema razón” por lo cual la creencia de que los números podían medirlo todo es una simple ilusión, quedando eliminada de la Geometría la posibilidad de medir siempre con exactitud. Se había descubierto la magnitud  irracional, el alogon, provocando una crisis sin precedentes en la Historia de la Matemática.

En los diálogos de Platón se advierte la influencia del descubrimiento de los inconmensurables sobre la filosofía platónica de la ciencia. También en el Menón insiste Platón sobre el problema de la duplicación del cuadrado. Sócrates y un esclavo mantienen una conversación, en la que las respuestas del esclavo, se resuelve el problema.

Mientras seguían investigando y buscando el infinito, el gran filósofo, Anaxágoras de Clazomene, estableció una definición de lo llamado axioma de continuidad: […]. En lo pequeño no existe lo extremadamente pequeño, sino algo cada vez más pequeño, […]. De igual modo, en lo grande siempre hay algo más grande, […].

Euxodo, Euclides y Arquímedes demostraron ciertas áreas por líneas curvas, que llamaron lúnulas. A Hipócrates (primer matemático profesional) se le debe la primera utilización de letras en las figuras geométricas.

Las conclusiones de Hipócrates sobre las lúnulas animarían a muchos a conseguir la cuadratura del círculo. Por ejemplo a Antifón de Atenas llamado el sofista y a Bryson de Heraclea. Dado un circulo, Antifón parte de un polígono regular, inscrito en el. Sobre cada lado del polígono construye un triángulo isósceles, obteniendo un polígono regular de doble número de lados, y repite la operación continuamente. Sin embargo con el postulado o hipótesis propuesta por Antifón nunca se alcanzaría a todo el área del círculo, acercándose los lados a la circunferencia pero nunca estando en la posición de la misma.

Por otro lado Bryson no solo consideró polígonos inscritos sino también circunscritos, concluyendo que el área del circulo es la media del área de los polígonos. El método no fue valido.

Arquímedes, en el Método, atribuye a Demócrito el descubrimiento y la demostración del volumen de la pirámide y del cono como la tercera parte de los correspondientes prisma y cilindro respectivos. Bajo un atomismo geométrico de corte pitagórico, pero con mentalidad de físico, Demócrito considera estos solidos como si estuvieran formados por innumerables capas paralelas. Demócrito, según relata Plutarco, hace una reflexión que prefigura la labor constructiva de Arquímedes en su obra el Método y la de Cavalieri en la Geometría Indivisibilibs Continuorum.  

Demócrito del principio de Cavalieri deduciría el resultado del volumen de la pirámide como un tercio del prisma triangular de igual base y altura, al dividir el prisma en 3 pirámides triangulares de igual base y altura.

La tempestad provocada por el descubrimiento pitagórico de los irracionales y las contradicciones de Zenón contra la pluralidad y el movimiento, causo una crisis matemática que dio lugar al horror al infinito.

Euxodo en un intento de evadir la crisis en la que se encontraban, resolvió la contradicción entre infinito y finito. Introduciendo el concepto de “tan pequeño como se quiera”, equivalente a nuestro proceso de “paso al límite”, desarrolla una definición, un axioma y un método.

Definición de a igualdad de razones: “Se dice que la primera de cuatro magnitudes tiene la misma razón con la segunda que la tercera con la cuarta, cuando tomando cualquier múltiplo de la primera y de la tercera y de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o menor que el de la segunda, según que el múltiplo de la tercera sea mayor, igual o menor que el de la cuarta.”

El axioma de continuidad: “Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas de modo que supere a la otra.”

Euclides utiliza en axioma de continuidad para demostrar una proposición de los elementos, resultado que dio la posibilidad del método de exhaución, con el que demuestra los teoremas sobre el círculo y los teoremas sobre a pirámide y el cono postulados por Hipócrates y Demócrito.

El método de exhaución le da al argumento matemático una fuerte lógica, pero tiene grandes dependencias; ya que resulta molesto el uso de las desigualdades básicas que se necesitan para iniciar la doble reducción al absurdo, tampoco sirve este método para innovar o encontrar nuevas verdades ya que se trata de un método de demostración.

Gracias al poco campo numérico de los griegos en cuanto a conceptos no podían medir el área de las figuras geométricas; y para llevar a cabo la cuadratura o curvatura de una figura, los griegos debían encontrar la razón de la figura y otra figura previamente conocida.

Los griegos solo estudiaron el movimiento uniforme ya sea circular o lineal.

L elaboración de la teoría de magnitudes, mediante la que Eudoxo resuelve de forma provisional pero rigurosa el problema del infinito, aún tiene influencia sobre la concepción que Aristóteles y su escuela tienen sobre el infinito.

Aristóteles considera toda magnitud finita, pero como admite la infinita divisibilidad rechaza el atomismo geométrico. Un infinito (en acto) no puede ser pensado como inteligible, pero se pude pensar en una magnitud creciente por encima (en potencia) de todo límite.

Entonces para Aristóteles, el infinito es como una ilusión del pensamiento que siempre puede traspasar potencialmente un límite prefijado, pero distingue la cuestión del infinitamente grande y el infinitamente pequeño.

En manos de Arquímedes el método de exhaución, conjugado con su método mecánico de descubrimiento llamado método de la palanca, se convierte en un instrumento que ayuda a resolver cuadraturas, cubaturas y centros de gravedad, cosas que hoy podemos obtener por medio de algoritmos infinitesimales. Entre esos resultados podemos citar los siguientes:

-Sobre la esfera y el cilindro.

-Sobre la medida del círculo.

-Sobre conoides y esteroides.

-Sobre los espirales.

-Sobre el equilibrio de los planos.

-Sobre la cuadratura de la parábola.

-Sobre los cuerpos flotantes.

Todos los resultados relacionados son demostrados por Arquímedes mediante el método de exhaución. Todos creyeron que Arquímedes podía resolver todos los problemas porque contaba con un método que nadie conocía y era milagroso, Sin embargo el Cali Leo dijo que en la investigación siempre hay dos momentos donde la primera fase es la invención, intuitiva, no rigurosa y muchas hipótesis, que denominó la vía del descubrimiento, y la otra fase donde se impone el rigor y llamados vía de la demostración. El método es una obra singular de Arquímedes, porque en ella se decide a revelar a la comunidad matemática alejandrina, el proceso mental de la vía de investigación el método seguido en el tratamiento de cuestiones geométricas con ayuda de nociones y consideraciones mecánicas. El método de Arquímedes es un informe muy completo sobre un método de investigación y de argumentación aceptable en geometría, ilustrado con algunos ejemplos.

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