Distribucionde Velocidads

9. DISTRIBUCION DE VELOCIDADES.

CONCEPTOS.

Distribución de Partículas en Niveles de Energía. El factor de Boltzmann.

Si tenemos N particulas cuya energia total es E:

¿Cómo se distribuye esta energia entre ellas si la intercambian de forma aleatoria?

¿Lo haran de forma que todas tengan la misma energia?

Como ya vimos en el apartado anterior la forma en que la energia se distribuira es aquella que se corresponda con la situacion mas probable.

El problema que nos vamos a plantear es pues un problema de combinatoria:

Si tenemos n1 particulas con energia e1, n2 particulas con energia e2, n3 particulas con energia e3..., de modo que la suma de todas las particulas es N y la suma de sus energias, n1*e1+n2*e2+...., es E, de cuantas formas podemos poner estas N particulas respetando esta configuracion?

Si lo desea puede estudiar la propuesta realizando la siguiente experiencia.

El factor de Boltzmann.

Hemos encontrado de una forma cualitativa cómo un sistema de partículas se reparte la energia de acuerdo con una ley exponencial decreciente con la energia, a mayor energia menor número de partículas. Hablando en términos de probabilidades la probabilidad de encontrarnos una partícula con una energía E, suponiendo que dicha partícula se encuentra en equilibrio con un sistema de partículas a temperatura T, disminuye exponencialmente con la energía siendo la probabilidad proporcional a la siguiente función:

Donde K es una constante que denominamos constante de Boltzmann. A este factor exponencial se le denomina factor de Boltzmann.

Distribucion de particulas en la atmosfera.

Veamos cómo nos encontramos con el factor de Boltzmann en el caso de un sistema de partículas sometidas a un campo gravitatorio. La simulación nos muestra una columna donde podemos situar un gas ideal sometido a un campo gravitatorio como sucede con nuestra atmosfera.

La presión que tenemos en la superficie de la Tierra es debida al peso, por unidad de superficie, de la columna de aire que se encuentra sobre nosotros. Las partículas, debido a la gravedad se distribuyen de forma no uniforme, el número de partículas disminuye con la altura, veamos en qué forma.

Analicemos un elemento infinitesimal de esta columna, sea dh su espesor, la diferencia de presion entre la parte superior e inferior sera igual al peso de las particulas que contenga por unidad de seccion:

Donde m es la masa de una molecula, n el numero de moleculas por unidad de volumen, g la aceleracion de la gravedad y dh el espesor del elemento infinitesimal que estamos estudiando. Teniendo en cuenta la ecuacion de los gases ideales: P = nKT, tomando diferenciales en esta expresion y sustituyendo en la anterior nos queda:

Funcion diferencial cuya solucion es una funcion de h que derivada nos

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