CONCEPTO DE VOLUMEN DE CONTROL Y ECUACION FUNDAMENTAL EN FORMA INTEGRAL.

3.1.- Conservación de la masa.

CONCEPTO DE VOLUMEN DE CONTROL Y ECUACION FUNDAMENTAL EN FORMA INTEGRAL.

Un volumen de control es una región de interés en el espacio a  través de  cuyas fronteras fluye (entra y sale) constantemente un fluido.

El contorno de un volumen de control se le llama “superficie de control”.

Fluye contantemente un fluido a través del volumen de control con una dirección del flujo y la velocidad está dada en un sistema de coordenadas x,y,z. véase también la figura ①.

        Z        contorno (s.c) fijo.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

        Volumen de control (fijo).[pic 6][pic 7][pic 8]

        Y        X        dirección del flujo.[pic 9][pic 10]

El volumen de control fijo en un instante inicial t, se muestra en la figura ②.

[pic 11]

        Z        contorno (s.c) fijo.[pic 12][pic 13]

        Volumen de control (fijo).[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

        Y        X        c                volumen de control en el instante  posterior [pic 21][pic 22][pic 23][pic 19][pic 20]

        x

Se muestran tres zonas A,B y C.

*el volumen C sale del volumen de control (V.C) en un Δt, el volumen siendo Δt= .[pic 24]

*A representa el volumen que ha entrado al V.C en ese mismo lapso.

*B es el volumen que ha permanecido dentro de él.

*propiedad extensiva: depende de la cantidad de fluido presente, como la masa o el volumen.

*propiedad intensiva: son independientes de la cantidad de fluido presente, como la densidad o la viscosidad.

Sea: X= una propiedad extensiva general.
       x= una propiedad intensiva general.
      m= masa.

Así:  ; para un sistema.[pic 25]

[pic 26]

Ya que: [pic 27]

NOTA: la integral se efectúa sobre el volumen “punteado” al cual se le llamara “sistema”.

De la figura 2, el volumen de control en el tiempo  se representa por la suma de las fracciones A y B, mientras que las regiones B y C identifican la posición del fluido en el tiempo  .[pic 28][pic 29]

Matemáticamente se puede expresar como una propiedad extensiva del fluido, como:

[pic 30]

   Así:  [pic 31][pic 32]

También puede ser:[pic 33]

[pic 34]

Agrupando términos y dividiendo por Δt.

[pic 35]

Por ende:

 [pic 36]

                  primer↑ término     segundo↑ termino

El primer término representa la rapidez de cambio de la propiedad X en la región o volumen B. como Δt se aproxima a cero, la región B se aproxima a la del V.C que puede representarse como la rapidez de cambio con respecto al tiempo de la propiedad X que se encuentra dentro del V.C en el instante t, esto es:

 [pic 37]

 [pic 38]

Sustituyendo  (x) el valor de la propiedad extensiva.[pic 39]

El segundo término,  representa cuanto de la propiedad X ha salido del volumen de control en Δt y  representa cuanto de X ha entrado al V.C en ese mismo tiempo.[pic 40][pic 41]

• NOTA:
  si las cantidades entrantes y salientes son igual,  
  + si la cantidad que entra es mayor que la que sale, será negativo.
  + si la cantidad que sale es mayor que la que entra, será positivo.[pic 42]

Por ende:  [pic 43]

Donde  = variación de la cantidad X que pasa a través de la superficie de control en el intervalo dt.[pic 45][pic 46][pic 47][pic 44]

        Volumen de control (V.C)        ds        [pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 48]

...