LIBRO MATEMATICAS PREUNIVERSITARIAS
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w w w . e d u c a c i o n p o p u l a r . c l
Apuntes de preparaci´on para la
Prueba de Selecci´on Universitaria
M A T E M ´A T I C A
2008
Preuniversitario Popular
V´ıctor Jara
Pamela Paredes N´u˜nez
Manuel Ram´ırez Panatt
Estudiantes de Licenciatura en Ciencias Exactas
Facultad de Ciencias, Universidad de Chile
Simbolog´ıa Matem´atica
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Y para nuestro libro. . .
Ejemplos | Actividades
} Observaciones
“Un pa´ıs mejor se crea con igualdad social, sin una nivelaci´on cultural no hay igualdad social,
sin educaci´on popular no hay nivelaci´on cultural. . . ¡Creemos educaci´on popular!”
Este libro ha sido facilitado a
todos los alumnos del Preuniversitario
Popular V´ıctor J ara, cu´ıdalo y
aprov´echalo al m´aximo.
Cuando ya no lo necesites, reg´alalo
a alguien que le sea m´as ´util que a ti.
Este libro no debe venderse ni guardarse,
pues el valor de un libro no se
mide por la calidad de su edici´on, mas
bien, por la cantidad de ojos que lo han
leido.
´Indice general
Presentaci´on VII
1. N´umeros 1
1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Representaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1. N´umeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2. N´umeros Cardinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3. N´umeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4. N´umeros Racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.5. N´umeros Irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.6. N´umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Operatoria con los n´umeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Axiomas de Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2. M´ınimo Com´un M´ultiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3. M´aximo Com´un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.4. Reglas de Multiplicidad y Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5. Orden Operatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.6. Operaciones con Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.7. Potenciaci´on y Radicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.8. Notaci´on Cient´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Mini Ensayo I, N´umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2. Proporcionalidad 21
2.1. Razones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Raz´on Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2. Raz´on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.1. Proporci´on Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Proporci´on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Proporcionalidad Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Proporcionalidad Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.5. Proporcionalidad Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1. Porcentaje de una Cantidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2. Porcentaje de un Porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
i
´INDICE GENERAL Preuniveritario Popular V´ıctor J ara
2.4. Mini Ensayo II, Proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Introducci´on al ´Algebra 35
3.1. Signos del ´Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Lenguaje Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Expresiones Algebr´aicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1. T´ermino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2. Clasificaci´on de las Expresiones Algebr´aicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3. T´erminos Semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.4. Eliminaci´on de Par´entesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4. Productos Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1. Multiplicaci´on de Monomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2. Multiplicaci´on de Polinomio por Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3. Multiplicaci´on de Polinomio por Polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5. Mini Ensayo III, Expresiones del ´Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4. Desarrollo Algebraico 45
4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1. Cuadrado de Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.2. Suma por su Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.3. Cubo
...