Matematicas

Retroalimentación Control 7

Desarrolle y responda las siguientes preguntas, justificar matemáticamente su desarrollo.

Demuestre que la funciónf:[-2,2]→[8,16]definida por f(x)=3x^2+2x, es:

Creciente. De no serlo, indique intervalo de crecimiento y de decrecimiento

Uno a uno. De no serlo, acote el dominio de la función

Determine su inversa (1 punto)

Solución:

Para visualizar las preguntas planteadas, graficamos la función cuadrática, en los intervalos que se define, para ello, como siempre construimos la tabla de valores:

x 3x^2+2x f(x)

-2 12-4 8

-1 3-2 1

0 0+0 0

1 3+2 5

2 12+4 16

a)La función no es creciente.

Es decreciente desde -2 hasta el eje de simetría, es decir, x∈[-2,-1/3┤[

Es creciente desde el eje de simetría hasta 2, es decir, x∈├]-1/3,2]

b) No es uno a uno, ya que hay elementos del dominio (x) que poseen la misma imagen (y).

Para que sea uno a uno restringimos el dominio y recorrido de la función:

f:[-1/3,2]→[-1/3,16],

Es decir, Dom f: x∈[-1/3,2] y Rec f:y∈[-1/3,16]

c)Restringiendo el domino (punto b)), la función inversa es:

f(x)=3x^2+2x

y=3x^2+2x , cambiamos la x por y e ypor x:

x=3y^2+2y, despejamos y, para ello completamos el

cuadrado de binomio, multiplicando por 3:

3x=9y^2+6y, /+1

3x+1=9y^2+6y+1, factorizamos:

3x+1=〖(3y+1)〗^2, aplicamos raíz:

√(3x+1)=3y+1, depejamosy:

√(3x+1)-1=3y /:3

(√(3x+1)-1)/3=y, donde y es la función inversa:

Retroalimentación Control 7

Desarrolle y responda las siguientes preguntas, justificar matemáticamente su desarrollo.

Demuestre que la funciónf:[-2,2]→[8,16]definida por f(x)=3x^2+2x, es:

Creciente. De no serlo, indique intervalo de crecimiento y de decrecimiento

Uno a uno. De no serlo, acote el dominio de la función

Determine su inversa (1 punto)

Solución:

Para visualizar las preguntas planteadas, graficamos la función cuadrática, en los intervalos que se define, para ello, como siempre construimos la tabla de valores:

x 3x^2+2x f(x)

-2 12-4 8

-1 3-2 1

0 0+0 0

1 3+2 5

2 12+4 16

a)La función no es creciente.

Es decreciente desde -2 hasta el eje de simetría, es decir, x∈[-2,-1/3┤[

Es creciente desde el eje de simetría hasta 2, es decir, x∈├]-1/3,2]

b) No es uno a uno, ya que hay elementos del dominio (x) que poseen la misma imagen (y).

Para que sea uno a uno restringimos el dominio y recorrido de la función:

f:[-1/3,2]→[-1/3,16],

Es decir, Dom f: x∈[-1/3,2] y Rec

...