TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn «se aproxima bien» a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.

Definición:

Sea la función de densidad de la distribución normal definida como:

fμ,σ^2 (x)= 1/√(2πσ^2 ) e^((x- μ)^2/(2σ^2 ))

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es, a la distribución se le conoce como normal estándar. Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

S_n=X_1 +⋯ + X_n

de manera que, la media de Sn es n•µ y la varianza n•σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como:

Z_n=(Z_n -nμ)/(σ √n)

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

〖lim┬(n→∞) 〗⁡〖Pr(Z_n ≤z) =ᶲ(z) 〗

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.

Enunciado Formal

De manera formal, normalizada y compacta el enunciado del teorema es:

Teorema del límite central: Sea X_1,X_2,+⋯ X_n un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2 distinta de cero. Sea:

S_n=X_1 +⋯ + X_n

Entonces:

lim┬(n→∞)⁡Pr ((S_n n-μ )/(σ√n) ≤z) = ᶲz

Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral 〖 X ̅〗_n.

(X ̅_n-μ)/(σ/n),

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no normalizadas como puede ser:

Teorema (del límite central): Sea X1, X2 +…+ Xn un conjunto de variables aleatoria, independientes e idénticamente distribuidas de una distribución con media μ y varianza σ2≠0. Entonces, si n es suficientemente grande, la variable aleatoria:

X ̅=1/n ∑_(i=1)^(n )▒Xi

tiene aproximadamente una distribución normal con μx= μ y σ^2 x= σ^2⁄n.

Nota: es importante remarcar que este teorema no dice nada acerca de la distribución de XI, excepto la existencia de media y varianza.

PROPIEDADES

El teorema del límite

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