Valor Esperado

Esperanza Matemática o Valor Esperado

El valor esperado de una Variable Aleatoria X es el promedio o valor promedio de X. La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria tiene sus orígenes en los juegos de azar, debido a que los apostadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar repetidamente un juego, por lo tanto, el valor esperado representa la cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder después de un número grande de apuestas.

El valor que se espera obtener de un experimento estadístico se llama el valor esperado. Tambien llamado "esperanza matemática". Tambien lo llamamos "media" y esta es la palabra que vamos a seguir usando. Si tiramos una moneda 10 veces, esperamos que salga 5 veces "cara" y 5 veces "cruz". Esperamos obtener este valor porque la probabilidad de que salga "cara" es 0,5, y si lanzamos la moneda 10 veces, obtenemos 5. Por lo tanto, 5 es la media. Para formalizar este particular ejemplo de la media, si p es la probabilidad y n el número de eventos, la media es a = np. Esta es la forma de la media cuando se puede expresar la probabilidad por medio de la distribución binomial.

Para formalizar el concepto un poco mas, en un experimento con resultados discretos xi para los cuales la probabilidad es P(xi), la media estará dada por

a = SxiP(xi)

En el caso de variables continuas donde se expresa la probabilidad en términos de una función de distribución, la media toma la forma

Ejemplo 1

Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda normal y obtener cara, si cae cara la 1ra vez el jugador gana $2, si cae cara la 2da vez gana $4 y si cae cara en la 3ra vez gana $8, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos. Si no cae cara en los tres lanzamientos pierde $20.

¿Cuál es la esperanza de ganancia o perdida en el juego?

La probabilidad de que en la 1ra ocasión salga cara es

Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

Conclusión

En estadística la esperanza matemática (o simplemente esperanza) o valor esperado de una variable aleatoria es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso, durante el número de repeticiones de un fenómeno.

Por ejemplo, en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad

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