ANUALIDADES

2. TEMA: ANUALIDADES

2.1. CONCEPTO DE ANUALIDADES

Ejemplos de anualidades: son abonos semanales, pagos de rentas mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones, pagos semestrales de interés sobre bonos, primas anuales en pólizas de seguros de vida, etc.

2.1.1. Tipos principales de anualidades

Vamos a distinguir dos tipos de anualidades:

Anualidades ordinarias o vencidas cuando el pago correspondiente a un intervalo se hace al final del mismo, por ejemplo, al final del mes.

Para el caso de una anualidad ordinaria de n pagos, el despliegue de los datos en la línea del tiempo es:

Pagos de valor

R R R R R R

|________|________|________|__. . .___|________|

| 1 2 3 n-1 n

Inicio fin

Anualidades anticipadas, cuando el pago se hace al inicio del intervalo, por ejemplo al inicio del mes.

Para el caso de una anualidad anticipada de n pagos:

Pagos de valor

R R R R R R

|________|________|________|__. . .___|________|

| 1 2 3 n-1 n

Inicio fin

Ambos tipos de anualidades pueden aplicarse en un contexto de certeza, en cuyo caso se les llama anualidades ciertas o en situaciones caracterizadas por la incertidumbre, en cuyo caso se les conoce como anualidades contingentes.

2.2 COMO SE DESARROLLA EL VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO

En estos problemas se supone que el conjunto de pagos es invertido a interés compuesto hasta el fin del plazo de la operación. Esta consideración es fundamental para definir el Valor futuro o monto de una anualidad y el Valor presente de la anualidad.

2.2.1 Valor futuro de una anualidad ordinaria

Responde a la pregunta: ¿Cual es el monto o valor futuro de una suma de pagos iguales distribuidos de manera uniforme a lo largo del tiempo?

El valor futuro de un conjunto de n pagos vencidos de valor R cada uno es:

Fórmula (1.1):

S=el monto de anualidad

R = valor del pago periódico de una anualidad.

i = tasa de interés para cada uno de los intervalos de tiempo en que se ha dividido el plazo completo.

n = número total de intervalos de la operación.

Ejemplo:

1. Una persona se ha propuesto depositar $ 320 mensualmente durante 2 años (24 meses) en una cuenta bancaria que paga el 18 % anual de interés (1.5 % mensual). ¿Cuál será la cantidad acumulada al final de los dos años considerando que el banco capitaliza mensualmente los intereses?

Datos: R=320, i=0.015, n=24

Aplicando (1.1):

2.2.2 Valor presente de una anualidad ordinaria

Responde a la pregunta: ¿Cuánto vale hoy un conjunto de n pagos iguales a realizar a intervalos regulares en el futuro?

Fórmula (1.2) que responde a la pregunta es:

A=el valor presente de la anualidad.

R=valor del pago periódico de una anualidad.

i=tasa de interés para cada uno de los intervalos del tiempo en que se ha dividido el plazo completo.

n=número total de intervalos de la operación.

Ejemplo:

2. Una empresa tiene en su cartera de activos 10 pagarés de $ 200 cada uno y con vencimientos mensuales consecutivos. El primero de ellos vence dentro de un mes. La empresa necesita liquidez y planea venderlos a un banco, el cual ha aceptado la transacción considerando una tasa de interés de referencia del 24% anual (2% mensual). ¿Qué cantidad recibirá la empresa si se realiza la operación? En otras palabras, ¿cuál es el valor presente de estos pagarés?

Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

Aplicando (1.2):

2.3.3 Valor futuro de una anualidad anticipada

Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes:

El valor futuro de la anualidad anticipada es:

Fórmula (1.3):

Ejemplo:

3. Hacer el cálculo del ejemplo 1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), S a / n = ¿?

Aplicando (1.3):

2.2.4 Valor presente de una anualidad anticipada

El valor presente de una anualidad adelantada se calcula como:

Fórmula (1.4):

Ejemplo:

4. Hacer el cálculo del ejemplo 2, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

Aplicando (1.4):

2.3 QUE ES EL PLAZO DE LA ANUALIDAD

El tiempo que transcurre entre el inicio del primer período y el final del último período se denomina el plazo de una anualidad y se representa por n.

Una anualidad tiene dos valores el valor final y el valor presente en el primer caso, todos los pagos son trasladados al final de la anualidad y en el segundo caso todos los pagos son trasladados al principio de la anualidad.

Valor final

Si se hace los cálculos para hallar el valor final de una anualidad ordinaria. El valor final puede ser representado de dos maneras:

La primera usando la notación tradicional:

(F/A, n, i%)

Donde F significa valor final, A significa que se trata de una anualidad, n indica el número de pagos de la anualidad y la i % significa la tasa de interés a la cual todos los pagos son trasladados a valor final.

La segunda forma de representación es con la notación actuarial:

Donde la S significa valor final, la n (cantidad que se escribe dentro del ángulo) indica el número de pagos y la i indica la tasa de interés a la cual serán llevados todos los pagos a valor final.

Debido a que la notación actuarial es más condensada en muchos casos es recomendable su utilización.

2.3.1 El cálculo del pago regular (R)

Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor futuro o valor presente, según sea el caso?

Cuando conocemos el valor futuro de una anualidad ordinaria, el pago regular se calcula

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