Anualidades

1 ANUALIDADES

Una anualidad consiste en una serie de cuotas uniformes y periódicas que se realizan durante un período continuo a una tasa de interés i constante. Un préstamo para comprar un automóvil que comunmente se paga en cuotas iguales o un ahorro periódico constante son ejemplos típicos de lo que entenderemos por anualidades.

Los pagos o cuotas que conforman el sistema, deben cumplir las siguientes condiciones:

 Son uniformes, es decir, todas son iguales.

 Son periódicas, es decir, que se dan período tras período sin interrupción alguna.

 El número de cuotas es igual al número de períodos.

 La tasa de interés permanece constante durante los n periodos.

Por anualidad ordinaria, entenderemos una anualidad en la cual las cuotas se pagan al final de cada período. Al valor de cada cuota suele llamársele renta y al tiempo entre dos cuotas se le llama período de renta. Si las cuotas se pagan al iniciar cada periodo la anualidad se denomina anualidad anticipada.

1.1 CALCULO DE LA CUOTA FIJA

Para introducir el concepto de anualidad, retomemos un ejemplo de amortización:

Ejemplo 1: Una persona ha efectuado un préstamo de $2.000.000 que deberá pagar en un año con cuotas trimestrales al 24% nominal. Cual será el valor de cada cuota?

Miremos el diagrama del flujo de caja:

Si planteamos una ecuación de valor con fecha focal en el mes cero debemos considerar que 2.000.000 es el valor presente de las cuatro cuotas fijas:

Tasa trimestral = 24% / 4 = 6%

2.000.000 = A/( 1 + 0,06 )1 + A/( 1 + 0,06 )2 + A/( 1 + 0,06 )3 + A/( 1 + 0,06 )4

2.000.000 = A [ ( 1 + 0,06 )-1 + ( 1 + 0,06 )-2 + ( 1 + 0,06 )-3 + ( 1 + 0,06 )-4 ]

2.000.000 = A x 3,46510561

A = 577.182,98

El cálculo pudo efectuarse entonces por el simple hecho de que solo había cuatro cuotas. Pero si el número de cuotas es mucho más alto, debe tratar de encontrarse una fórmula que facilite los cálculos.

Generalizemos: Supongamos que se desea amortizar un préstamo de P pesos, con cuotas uniformes durante n periodos a una tasa de interes i.

Si plantemos una ecuación de valor con el periodo cero como fecha focal, tendremos:

Ecuación (a):

P = A/( 1 + i )1 + A/( 1 + i )2 + A/( 1 + i )3 + . . . + A/( 1 + i )n

Multiplemos ambos miembros de la ecuación por el factor (1+ i )

P x (1 + i ) = (1 +i ) x [ A/( 1 + i )1 + A/( 1 + i )2 + A/( 1 + i )3 + . . . + A/( 1 + i )n]

Ecuación (b):

P x (1 + i ) = A + A/( 1 + i )1 + A/( 1 + i )2 + A/( 1 + i )3 + . . . + A/( 1 + i )n-1

Si de la Ecuación (b) restamos miembro a miembro la Ecuación (a) se tendrá:

P x ( 1 + i ) - P = A - A/( 1 + i )n

P x [ ( 1 + i ) - 1 ] = A x [

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