Anualidades

UNIDAD VIII

ANUALIDADES

8.1. Definición y clasificación de las anualidades

Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos de tiempo.

No necesariamente se refiere a periodos anuales, se ha conservado el nombre de anualidad por costumbre en dichas operaciones; pero ejemplos de anualidades son:

Pagos mensuales por la renta de un local o departamento.

Cobro quincenal de sueldos.

Pagos anuales a las pólizas de seguro.

Intervalo o periodo de pago: tiempo que transcurre entre un pago y otro.

Plazo: Tiempo que trascurre entre el primer pago y el último.

Tipos de anualidades.

La variación en los elementos de las anualidades hace que existan diferentes tipos de ellas, por lo tanto se clasifican de la siguiente manera.

Criterio Tipo Descripción

Tiempo

(fecha de inicio y fin) Ciertas Anualidades ciertas. Sus fechas son fijas y se

Estipulan de antemano.

Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último pago.

Contingentes Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas no se fijan de antemano.

Ejemplo: Una renta vitalicia que se obliga a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo.

Intereses Generales Anualidad general. Son aquellas que el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización.

Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente.

Simples Anualidad simple. Cuando el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses.

Ejemplo: el pago de una renta mensual con intereses al 18% capitalizable mensualmente.

Pagos Vencidas Anualidad vencida. Las anualidades vencidas u ordinarias son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

Anticipadas Anticipadas. Los pagos se efectúan al principio de cada periodo.

Iniciación Inmediatas Anualidades inmediatas. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en al periodo inmediatamente siguiente a la formalización del trato.

Ejemplo: se compra un artículo a crédito hoy, que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (puede ser así, anticipada o vencida).

Diferidas Diferidas. La realización de los cobros o pagos se hace tiempo después de la formalización del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquiere hoy un

artículo a crédito para pagar con abonos

mensuales; el primer pago habrá de hacerse 6

meses después de adquirida la mercancía

Dado que entre cada tipo de criterio de clasificación (tiempo, intereses, pagos, iniciación) no son mutuamente excluyentes; la diversidad de anualidades puede ser de la siguiente manera:

8.2. Anualidades anticipadas

Las anualidades vencidas son aquellas que sus pagos iguales ocurren al finalizar cada periodo, un diagrama de flujo de cada de dichas anualidades se muestra a continuación:

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Para anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:

C=R 〖(1+i)^n-1〗^ /i

La ecuación que en lugar del Monto relaciona el capital (C) o valor presente, con el pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

C=R 〖1-〖 (1+i)〗^(-n)〗^ /i

Las anualidades anticipadas ocurren al inicio de cada periodo de tiempo, el diagrama de flujo de cada de estas anualidades es el siguiente:

Donde R representa cada pago y los números en el eje horizontal son los periodos de tiempo transcurridos.

La ecuación que relaciona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualizado (R), una tasa de interés (i) además de una cantidad determinada de periodos de tiempo (n) es:

Para anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:

C=R 〖(1+i)^n-1〗^ /i (1 + i)

Esta ecuación equivale a la usada para anualidades vencidas, solo que se le añade un periodo (1+i) ya que el monto total se capitaliza un periodo más.

En el caso del capital la ecuación queda:

C=R 1+ 〖1-〖 (1+i)〗^(-n+1)〗^ /i

Ejemplo 1. Un trabajador deposita $250 en una cuenta de ahorros al inicio de cada mes; si dicha cuenta paga 1.3% de interés mensual capitalizable al mes ¿Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año?

Solución: se realiza el diagrama de flujo de caja para visualizar los pagos:

R = $250

Entonces los datos son:

R = $250;

n = 12,

i = 1.3% mensual capitalizable al mes

Cuando se cumplan los 12 periodos mensuales se cumple el año; por lo cual la sustitución de la ecuación queda de la siguiente forma:

M = R (〖(1+i)〗^n-1)/i (1 + i)

M = 250 ((1+0.013)^12-1)/0.013 (1 + 0.013) = $3,265.99

Ejemplo 2. Determine el valor del monto al cual equivalen 6 pagos anticipados semestrales de $14,500 si el interés es del 19% anual capitalizable semestralmente.

Solución: Los datos son:

M =?

n = 6

R = $14,500

i = 19% anual capitalizable al semestre

M = R (〖(1+i)〗^n-1)/I (1 + i)

M = $14, 500 (〖(1+ 0.19/2 ) 〗^6-1)/(0.19/2) (1 + 0.19/2 ) = $120, 968.40

Ejemplo 3. Un comerciante alquila un local para su negocio y acuerda pagar $2,750 de renta por anticipado. Como desearía liberarse del compromiso mensual, decide proponer una renta anual anticipada. Si los intereses son del 15.6% anuales convertibles mensualmente

¿Cuánto debería ser la renta anual anticipada?

Solución:

C=?

R=$2,750

i = 15.6% anual capitalizable al mes

n = 12 meses

C = R (1-(1+i)^(-n+1))/i

C = $2,750 1 + 〖1-(1+ 0.156/12)〗^(-12+1)/(0.156/12) = $30,767.60

Ejemplo

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