Ayudantía de Teoría de Juegos

Ayudantía de Teoría de Juegos

1. Considere el siguiente juego, donde los trabajadores eligen cuánto esfuerzo poner en su trabajo y la firma elige si remunerarlos bien:

[pic 1]

1. ¿Cuál es el Equilibrio de Nash si el juego se juega 1 vez? (por ejemplo, la empresa los contrata solo durante el períod peak de Navidad)

Un equilibrio de Nash: (la firma paga poco, flojea) con pagos asociados de (5,5)

1. ¿Qué sucede si el juego se repite por 10 períodos (por ejemplo, 10 años)?

Se llega al mismo resultado que en (a), es decir, el mismo resultado si se juega un período (paradoja de la cadena de supermercados).

1. ¿Qué sucede si el juego se repite en forma infinita?

Existe la posibilidad de ponerse de acuerdo y respetar este acuerdo mediante una estrategia de castigo y sujeto a determinadas condiciones de mercado (que la tasa de interés no sea tan alta).  No obstante, no es seguro que el acuerdo sea estable.

2. Una viejita busca ayuda para cruzar la calle. Se necesita sólo una persona para ayudarle, si más personas le ayudan está bien, pero no es mejor que la situación en que sólo una le ayuda. A y B son las dos personas más próximas a ella y deben decidir simultáneamente si ayudarla o no. A y B obtienen una utilidad de 3 si cualquiera de los dos ayuda a la señora. Pero el que la ayuda incurre en un costo de 1. Escriba la matriz de pagos de este juego. Encuentre el equilibrio de Nash.

Solución.

En este juego los dos jugadores A y B tienen dos estrategias de ayudar (AY) o no ayudar (NAY) a la viejita. Para representar el juego en forma normal se construye la matriz con los pagos correspondientes a cada uno de los estados.

• En el caso que A y B ayudan ambos obtienen una utilidad de 3 pero incurren en un costo de 1 por lo que los pagos serán (2,2)
• En el caso que A ayuda y B no ayuda, ambos obtienen una utilidad de 3 ya que la viejita fue ayudada.  Pero sólo A incurre en el costo de ayudar. Luego los pagos son (2,3)
• El caso que A no ayuda y B ayuda es análogo al anterior y los pagos son (3,2)
• En el caso que ninguno ayuda los pagos son (0,0) ya que ninguno obtiene utilidad ni incurre en costo.[pic 2]

Los equilibrios de Nash son dos:  (NAY,AY) y (AY,NAY).

3. Considere la siguiente tabla de pagos, donde cada firma tiene dos estrategias posibles: pertenecer al cartel o trampear y competirle a la otra firma.

[pic 3]

1. ¿Cuál es el Equlibrio de Nash si las firmas interactúan solo 1 vez? ¿Y si interactúan muchas veces? ¿cuál es la tasa de interés que sostiene el acuerdo?

El Equilibrio de Nash es: (compite, compite) con pagos asociados de (25,25).

Si  el juego se repite en forma infinita ,existe la posibilidad de ponerse de acuerdo y respetar este acuerdo mediante una estrategia de castigo.  Esto siempre que el juego se juegue repetidamente sin un final.

La estrategia de casito “trigger strategy” o “estrategia de gatillo”, establece que se cooperará mientras se cumpla el acuerdo. Sin embargo, si lo rompe, será “castigado” con la competencia por el resto del juego, (o sea, infinito).

Para encontrar la tasa de interés que sostiene el acuerdo de calcula el valor presente de unirse al cartel (Colusión) cuando el juego se repite infinitamente, y el valor presente del juego cuando se hace trampa, por una sóla vez, y luego es condenado a la competencia por el resto del juego.

VPcolusión= 30+30δ+30δ2+…  ; donde δ=1/(1+r)

VPsalirse=33+25δ+25δ2+…

El cartel será estable sólo si VPcolusión>VPsalirse

30(1+δ+δ2+…)>33+25δ(1+δ+δ2+…)

Si 0<δ<1

[pic 4]

despejando:

δ > 3/8

y  r<5/3  

O sea, la tasa de interés debe ser menor a 166% para que convenga ganar cada período 30. Si r>166%, conviene trampear, ganar 33 una vez, y seguir ganando 25 por el resto del tiempo.

En conclusión, para que la colusión pueda establecerse como un Equilibrio de Nash:

1. El juego debe repetirse infinitamente
2. Debe existir una estrategia de castigo en caso de incumplimiento
3. Las condiciones de mercado deben ser las adecuadas. En particular, la tasa de interés no debe ser tan alta como para que convenga trampear y ganar más hoy que un flujo más bajo en el tiempo.

1. Ahora considere la tabla de pagos levemente modificada:

[pic 5] 

¿Cómo cambiaría la estrategia de equilibrio?

El resultado del juego no cambia .

4. Ana y Bety son dos vendedoras que compiten por los clientes. El precio de competencia que tienen puede describirse con el siguiente juego, que se deriva de la demanda Q = 6 - p, donde $p por unidad es el precio más bajo (el mercado compra a quien ofrezca el menor precio),y donde los pagos del juego representan las utilidades diarias de los vendedores (en miles de $).

[pic 6] 

1. ¿Tiene Ana alguna estrategia estrictamente dominada? ¿Cuál? Sí, $4
2. ¿Tiene el juego alguna solución en estrategias dominantes? ¿Por qué?¿Si es así, cuál es la predicción? No, una estrategia es dominante para un jugador si domina a todas las demás estrategias.
3. ¿Tiene el juego un Equilibrio de Nash? Sí, cada jugador elige $1.

5. Muchas veces las personas o las firmas se encuentran en una situación donde uno debe elegir entre pelear o rendirse, como se observa en el siguiente cuadro:

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