EJERCICIOS DE ESTADISTICA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.

Conceptos generales:

Uno de los objetivos de la estadística es el conocimiento cuantitativo de una determinada

parcela de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo de esta realidad particular

objeto de estudio, partiendo de la premisa de que lo real es siempre más complejo y

multiforme que cualquier modelo que se pueda construir.

Distribuciones.

- Uniforme discreta

- Binomial

- Hipergeométrica

- Geométrica

- Binomial Negativa

- Poisson

Distribución Binomial (n,p):

La distribución binomial es una distribución discreta muy importante que surge en muchas

aplicaciones bioestadísticas.

Esta distribución aparece de forma natural al realizar repeticiones independientes de un

experimento que tenga respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o “fracaso”.

Por ejemplo, esa respuesta puede ser el hábito de fumar (sí/no), si un paciente hospitalizado

desarrolla o no una infección, o si un artículo de un lote es o no defectuoso. La variable

discreta que cuenta el número de éxitos en n pruebas independientes de ese experimento,

cada una de ellas con la misma probabilidad de “éxito” igual a p, sigue una distribución

binomial de parámetros n y p.

Distribución Hipergeométrica (N,R,n):

La distribución hipergeométrica suele aparecer en procesos muestrales sin reemplazo, en los

que se investiga la presencia o ausencia de cierta característica. Piénsese, por ejemplo, en un

procedimiento de control de calidad en una empresa farmacéutica, durante el cual se extraen

muestras de las cápsulas fabricadas y se someten a análisis para determinar su composición.

Durante las pruebas, las cápsulas son destruidas y no pueden ser devueltas al lote del que

provienen. En esta situación, la variable que cuenta el número de cápsulas que no cumplen

los criterios de calidad establecidos sigue una distribución hipergeométrica. Por tanto, esta

distribución es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se hace sin reemplazo.

Esta distribución se puede ilustrar del modo siguiente: se tiene una población finita con N

elementos, de los cuales R tienen una determinada característica que se llama “éxito”

6(diabetes, obesidad, hábito de fumar, etc.). El número de “éxitos” en una muestra aleatoria

de tamaño n, extraída sin reemplazo de la población, es una variable aleatoria con

distribución hipergeométrica de parámetros N, R y n.

Distribución Poisson.

La distribución de Poisson, que debe su nombre al matemático francés Simeón Denis Poisson

(1781-1840), ya había sido introducida en 1718 por Abraham De Moivre como una forma

límite de la distribución binomial que surge cuando se observa un evento raro después de un

número grande de repeticiones

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. En general, la distribución de Poisson se puede utilizar

como una aproximación de la binomial, Bin(n, p), si el número de pruebas n es grande, pero

la probabilidad de éxito p es pequeña; una regla es que la aproximación Poisson-binomial es

“buena” si n≥20 y p≤0,05 y “muy buena” si n≥100 y p≤0,01.

La distribución de Poisson también surge cuando un evento o suceso “raro” ocurre

aleatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el número de ocurrencias

del evento en un intervalo o espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoria discreta

que toma valores enteros de 0 en adelante (0, 1, 2,...). Así, el número de pacientes que llegan a

un consultorio en un lapso dado, el número de llamadas que recibe un servicio de atención a

urgencias durante 1 hora, el número de células anormales en una superficie histológica o el

número de glóbulos blancos en un milímetro cúbico de sangre son ejemplos de variables que

siguen una distribución de Poisson.

El concepto de evento “raro” o poco frecuente debe ser entendido en el sentido de que la

probabilidad de observar k eventos decrece rápidamente a medida que k aumenta.

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN:

20. Un abogado va todos los días, de su casa en las afueras de la ciudad, a su oficina en el centro. El tiempo promedio para un viaje de ida es de 24 minutos, con una desviación estándar de 3.8 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viaje está distribuida normalmente.

Distribución Binomial. Solución:

a. Cuál es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora.

= 1.58 = = 0.057

b. Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y él sale a diario de su casa a las 8:45 a.m. ¿Qué porcentaje de veces llega tarde al trabajo?

= - 2.37 = = 0.991 % llegará tarde.

c. Encuentre la longitud del tiempo por arriba del cual encontramos el 15% de los viajes más lentos.

17. Un estudio de las filas en las cajas de una entidad bancaria reveló que durante un cierto periodo en la hora más pesada, el número de clientes en espera, era en promedio de cuatro. Cuál es la probabilidad de que:

Distribución de Poisson, solución:

1. En la próxima hora no haya clientes esperando

2. En la próxima media hora dos clientes estén en espera

3. En un cuarto de hora dos o más clientes estén en espera

RESUMEN MANEJO DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCION BINOMIAL:: Es de variable aleatoria y discreta, es una de las mas importantes por sus aplicaciones, corresponde a un experimento aleatorio y cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A, llamado éxito o su contrario A’, llamado fracaso.

* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces p (A’) = 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito p y de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

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