El Comportamiento De La Empresa En El Largo Plazo

4.2. La Funci´on de Producci´on (o Tecnolog´ıa) a Largo Plazo y su Representaci

´on

A largo plazo, todos los factores de producci´on son variables.

Si tenemos dos factores de producci´on, L yK, la funci´on de producci´on, f(L,K),

mide la cantidad m´axima de producci´on, x, que puede obtenerse con L unidades

del factor trabajo y K unidades del factor capital.

ISOCUANTA: representaci´on gr´afica de las combinaciones de factor L y

factor K que proporcionan una misma cantidad de producci´on, x.

RELACIO´ N TE´CNICA DE SUSTITUCIO´ N entre L y K: tasa a la que la

empresa sustituye un factor productivo por otro manteniendo constante el

nivel de producci´on. La relaci´on t´ecnica de sustituci´on es el valor absoluto

de la PENDIENTE de la ISOCUANTA.

RTS =



dK

dL



CA´ LCULO DE LA RELACIO´ N TE´CNICA DE SUSTITUCIO´ N: A lo largo

de una isocuanta el nivel de producci´on, x, es constante. Alteramos el

4

TEMA 4. EL COMPORTAMIENTO DE LA EMPRESA EN EL LARGO PLAZO

4.1 LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN EN EL LARGO PLAZO

4.2 LA MINIMIZACIÓN DE COSTES EN EL LARGO PLAZO

4.3 LOS COSTES DE LA EMPRESA EN EL LARGO PLAZO

4.4 LOS RENDIMIENTOS A ESCALA

4.1 LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN EN EL LARGO PLAZO

1

uso de los dos factores productivos (L y K), pero mantenemos constante el

nivel de producci´on. Por tanto

0 = Δx = PML · ΔL +PMK · ΔK.

−ΔK

ΔL

=

PML

PMK

.

RTS =



dK

dL



=

PML

PMK

.

EJEMPLOS DE TECNOLOG´IA A LARGO PLAZO

PROPORCIONES FIJAS (Leontieff):

• Necesitamos una proporci´on fija de factores para producir cada unidad

del bien (analog´ıa: bienes complementarios perfectos).

• Ejemplo: para producir un hoyo necesitamos un hombre y una pala.

x = f (L, K) = min {L, K} .

• En general, si la proporci´on es de a unidades de L y b unidades de K,

para producir una unidad de bien final x, necesitamos

x = f (L, K) = min



L

a

,

K

b



.

L

K

1

1

2

2

x= 1

x= 2

SUSTITUTIVOS PERFECTOS:

2 5

• En el caso m´as simple, la cantidad utilizada de cada factor no importa,

s´olo la cantidad total de ambos factores.

x = f (L, K) = L + K.

Por tanto, L yK son SUSTITUTIVOS PERFECTOS en la producci´on

del bien x.

• En general:

x = f (L, K) = aL + bK,

donde PML = a y PMK = b. Es decir, a es el aumento que experimenta

la producci´on cuando utilizamos una unidad m´as de factor

productivo L. An´alogamente para K.

• Ejemplo: una unidad de producci´on se puede producir bien con un

hombre, bien con una m´aquina (a = b = 1).

L

K

x = 3

x = 2

x = 1

1

1

2

2 3

3

TECNOLOG´IA COBB-DOUGLAS:

x = f (L, K) = LαK1−α, 0 < α < 1.

Las ISOCUANTAS de la funci´on de producci´on COBB-DOUGLAS tienen

la misma forma que las curvas de indiferencia COBB-DOUGLAS.

6

3

L

K

K1

K2

L1 L2

½K1 + ½ K2

½ L1 + ½ L2

x = 1

x = 2

• La funci´on de producci´on Cobb-Douglas presenta rendimientos marginales

DECRECIENTES en cada factor de producci´on.

• El par´ametro α (1 − α) mide la respuesta de la cantidad producida a

una variaci´on en el factor productivo L (K). En particular:

◦ α: elasticidad de la producci´on respecto al factor trabajo:

εL =

∂x

∂L

L

x

,

donde

∂x

∂L

= αLα−1K1−α = α



K

L

1−α

.

Sustituyendo x = LαK1−α y ∂x

∂L = α

K

L

1−α en la f´ormula de la

elasticidad εL obtenemos:

εL = α



K

L

1−α L

LαK1−α = α.

◦ 1 − α : elasticidad de la producci´on respecto al factor capital:

εK =

∂x

∂K

K

x

,

donde

∂x

∂K

= (1 − α) LαK−α = (1 − α)



L

K

α

.

7

4

Sustituyendo x = LαK1−α y ∂x

∂K = (1 − α)



L

K

α en la f´ormula

de la elasticidad εK obtenemos:

εK = (1 − α)



L

K

α K

LαK1−α = 1 − α.

• La funci´on de producci´on Cobb-Douglas es (analog´ıa con preferencias

regulares):

◦ Tecnolog´ıa MONO´ TONA fuerte (por tanto tambie´n mono´tona).

◦ Tecnolog´ıa estrictamente CONVEXA (por tanto tambi´en convexa).

4.3. La Minimizaci´on de Costes a Corto y Largo Plazo. La Demanda Condicionada

de Factores

K.

MINIMIZACIO´ N DE COSTES A LARGO PLAZO:

El proceso consiste en obtener el coste m´ınimo que permite producir un nivel dado

de producci´on, ajustando TODOS los factores de producci´on (L y K).

minL,KwL + rK

s.a. x = f (L, K)

Resolvemos el problema de la minimizacio´n de costes a largo plazo GRA´ FICAMENTE.

Para ello, representamos en un mismo gr´afico las RESTRICCIONES

TECNOLO´ GICAS y los COSTES a los que se enfrenta la empresa, que vienen

determinados por:

9

4.2 LA MINIMIZACIÓN DE COSTES EN EL LARGO PLAZO

5

ISOCUANTAS: combinaciones de L y K que permiten producir x.

ISOCOSTES: combinaciones de L y K que implican un nivel de coste C =

wL + rK.

Para representar la recta isocostes, al igual que para representar la curva isocuanta,

despejamos K en funci´on de L :

K =

C

r

− w

r

L.

La recta isocoste es por tanto una recta con ordenada en el origen C

r y pendiente

−w

r = − (cociente de precios de los factores de producci´on).

Variando en nivel de costes C obtenemos las distintas rectas isocoste.

El problema de la minimizaci´on de costes

...