Leyes De Los Exponentes

Corresponde a la sesi�n de GA 2.2 A TODA LEY

A la operaci�n matem�tica que representa, en forma abreviada, la multiplicaci�n de factores iguales se le llama potenciaci�n.

La potenciaci�n, como expresi�n algebraica, la conforman los siguientes elementos:

a = base

m = exponente

b = potencia

As� se tiene que:

Graphics

Con base en esta definici�n es posible entender las leyes de los exponentes.

Primera ley: Producto de potencias con la misma base.

Ejemplo:

a� � a�

Por la definici�n de potencia se tiene:

Graphics

donde a aparece 5 veces como factor, por lo tanto:

a� � a� = a�+�

= Graphics

Al generalizar se afirma que:

El producto de potencias con la misma base (distinta de cero) es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.

Graphics

Segunda ley: Cociente de potencias con la misma base

Ejemplo: Graphics

Por la definici�n de potencia se tiene:

Graphics

Al cancelar factores iguales queda:

Graphics

Al generalizar queda:

El cociente de potencias con la misma base es igual a la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Graphics

Obs�rvese ahora el siguiente ejemplo:

Graphics

y se sabe que:

Graphics

Por transitividad:

Graphics

De lo que se concluye que:

Todo n�mero exponente negativo es igual a su inverso con exponente positivo

Graphics

Tercera ley: Potencia de una potencia

Ejemplo: Graphics

Por la definici�n de potencia se tiene:

Graphics

Apoy�ndose en la ley 1;

Graphics

Generalizando se tiene que:

La potencia de otra potencia de la misma base (distinta de cero) es igual que la base elevada al producto de los exponentes.

Graphics

Cuarta ley: Potencia de un producto

Ejemplo: (ab)�

Al aplicar la definici�n de potencia:

(ab)� = ab � ab � ab

Aplicando la ley conmutativa:

(ab)� = a � a � a � b � b � b

Y como la potencia es una multiplicaci�n abreviada, queda:

a�b�

Generalizando, se tiene que:

La potencia de un producto es igual que el producto de la misma potencia de los factores

...