MAXIMIZAR Y MINIMIZAR

En donde deben satisfacer la siguiente condición de restricción:

Para resolver el problema podríamos despejar en función de en la ecuación y remplazar la y luego maximizar o minimizar la función resultante, esto es Este, en general un buen método, sin embargo, se da el caso que en un gran número de problemas interesantes, el despejar una de las variables en función de la otra resulta ser un problema extremadamente engorroso y en muchos casos algebraicamente imposible. Afortunadamente existe una alternativa: los multiplicadores de Lagrange.

Analicemos el problema desde otro punto de vista. Para fijar ideas, supongamos que se pide hallar:

En otras palabras: se trata de hallar el máximo de la función sujeto a la restricción que el par pertenezca a la curva

Con este objetivo procedamos, en primer lugar, a dibujar curvas de nivel para la función . A modo de ilustración, ya que se pueden dibujar tantas curvas de nivel como uno quiera, consideremos solamente cinco valores . Supongamos que estos valores están tomados en orden creciente:

Dibujemos también, usando color rojo, la curva de restricción . Ver Figura.

Si observamos esta figura veremos que a medida que recorremos la curva de restricción, esta curva va cortando curvas de nivel. Ahora, cada vez que la curva de restricción corta una curva de nivel, significa que se pasó de un cierto valor de la función a un valor superior o viceversa. Esto significa que ningún punto de corte puede ser candidato a constituirse en un máximo (o mínimo) de la función bajo la restricción . Por lo tanto, una condición necesaria para que un cierto punto sea un candidato a ser un máximo es que en dicho punto, la curva de restricción sea tangente a alguna curva de nivel .

Ahora, suponiendo que todas las funciones involucradas sean diferenciables, ¿Cómo podemos obtener analíticamente estos puntos en donde las curvas son tangentes?

Respuesta. Podemos hacer uso de la característica que distingue tales puntos: solamente en ellos las respectivas tangentes trazadas a la curva de restricción y a la curva de nivel deben coincidir.

Escribiendo tendremos que las ecuaciones de las rectas tangentes a las curvas y en el punto son:

Como ambas ecuaciones representan la misma recta se deduce que los respectivos coeficientes de e deben ser proporcionales, esto es: debe existir un coeficiente de proporcionalidad tal que:

Estas dos ecuaciones pueden ser resumidas en sólo una:

De manera que el punto puede ser hallado resolviendo el siguiente sistema:

Proposición

Sean funciones de clase en el punto de la región . Suponga que . Para que sea un extremo de sujeto a las condiciones:

con para y , es necesario que existan constantes no nulas tales que:

Repaso.

Las constantes se llaman multiplicadores de Lagrange.

Observe que si un punto satisface la condición de Lagrange, esto no significa que ese punto deba forzosamente ser un máximo o un mínimo. El determinar la naturaleza de tales puntos, llamados también puntos críticos, es un problema que usualmente es enfocado tanto desde un punto de vista geométrico como también físico. Aun cuando un enfoque analítico también es posible, en general se prefiere alguno de los dos primeros.

Ejemplo.

Encontrar los extremos de:

Sobre la circunferencia

Solución. Sea . Entonces según la proposición anterior, para hallar los puntos críticos de la función bajo la condición de restricción , debemos resolver el sistema:

Esto es:

Sistema cuyas soluciones son:

Ahora, para determinar su naturaleza, utilizaremos el criterio de la segunda derivada. Sin embargo, la función a la cual hay que calcularle la segunda derivada es:

en donde es la función implícita determinada por la relación . La existencia de tal función implícita, en una vecindad de cada uno de los puntos encontrados queda garantizada ya que para .

Ahora:

Por otro lado, derivando ambos lados de la ecuación , ob-tenemos:

De donde:

Volviendo a derivar, se tiene:

De donde:

Entonces:

Ahora, es fácil ver que el signo de es negativo para los puntos y . Esto implica que estos puntos corresponden a máximos locales. Además

En cambio el signo es positivo para los puntos y . Esto significa que son mínimos locales. En efecto:

Este procedimiento en general es largo y cuando hay más variables puede resultar realmente engorroso. Esta es la razón por la cual usualmente se recurre a otros procedimientos para determinar la naturaleza de los puntos críticos. En este caso, se podría haber usado un procedimiento basado en la existencia de máximos y mínimos absolutos y en el hecho que los únicos puntos críticos son los cuatro que obtuvimos. Se deja al alumno justificar este procedimiento.

Ejemplo:

Encontrar los extremos de:

Sobre el círculo

Solución. Analicemos primero la función dentro del círculo Como la función es diferenciable en todo el plano, de haber extremos locales dentro del círculo, estos extremos tendrían que ser puntos críticos. Luego, el primer paso es, en el caso que los haya, buscar dichos puntos críticos y por lo tanto debemos resolver el siguiente sistema:

Sistema que nos da al origen como único punto crítico. Calculando el hessiano de en obtenemos:

Como este valor es negativo, se deduce que el origen es punto de ensilladura y por consiguiente no tiene máximos ni mínimos locales en el círculo

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