PROBLEMA DEL TRANSPORTE

PROBLEMA DEL TRANSPORTE

1. Una empresa dedicada a la fabricación de componentes de ordenador tiene dos fábricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en soles por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. ¿Cómo debe organizarse el transporte para que el coste sea mínimo?

Tienda A Tienda B Tienda C

Fábrica I 3 7 1

Fábrica II 2 2 6

Solución:

En este tipo de problemas se exige que toda la producción sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse inventario del producto ni en las fábricas ni en los centros de ventas.

En consecuencia, los 800 artículos producidos en la fábrica I deben distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z = 800. Pero, además, si desde I se envían x unidades a A, el resto, hasta las 1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fábrica II; esto es, 1000 - x unidades serán enviadas desde II a A.

Del mismo modo, si desde I a B se envían y, el resto necesario, 700 - y, deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibirá z desde I y 600 - z desde II.

En la siguiente tabla de distribución se resume lo dicho:

Envíos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600)

Desde la fábrica I ( 800) x y 800 - x - y

Desde la fábrica II (1500) 1000 - x 700 - y x + y - 200

La última columna la hemos obtenido de la siguiente forma:

Como x + y + z = 800, se tiene que z = 800 - x - y, de donde, 600 - z = 600 - (800 - x - y) = x + y - 200.

Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades:

x 0 ; 1000 - x 0 ; y 0; 700 - y 0 ; 800 - x - y 0 ; x + y - 200 0

Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones:

1000 x 0

700 y 0

800 x + y 0

Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al máximo los costes de transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fábrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario.

Se obtiene:

Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) + 6(x + y - 200)

= 6x + 10y + 3000

En definitiva, el programa lineal a resolver es:

Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000

sujeto a: 1000 x 0

700 y 0

800 x + y 0

La región factible se da en la imagen.

Sus vértices son A (200,0); B (800,0); C (100,700); D (0,700) y E (0,200).

El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es:

• en A, 4200 Z = 6(200)

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