Procesos de ITO

Modelado del precio de acciones mediante procesos de Îto y el lema de Îto

Previa la explicación del modelo del precio de las acciones es necesario recurrir a algunos definiciones relativas a procesos estocásticos.

Proceso de Markov. Se dice que una proceso estocástico es un proceso de Markov si los incrementos observados para dos intervalos disjuntos son independientes

Tasa de cambio esperada (drift rate) En un proceso estocástico, es la tasa de cambio observada en una unidad de tiempo.

Variabilidad (variance rate) En un proceso estocástico, es la varianza observada en una unidad de tiempo.

Proceso de Wiener o Movimiento Browniano. Se dice que una variable sigue un proceso de Wiener si :

• Los incrementos ∆z observados en un periodo corto de tiempo ∆t tienen una distribución normal con media cero y varianza ∆t
• Es un proceso de Markov

Proceso de Wiener Generalizado. Un proceso Wiener generalizado para una variable x puede ser definido en términos de un proceso Wiener dz de la siguiente manera:

dx = a dt + b dz

Donde dx es el proceso Wiener Generalizado, el término a dt representa que x tiene una tasa esperada de a por cada unidad de tiempo. Sin el término b dz se aprecia una ecuación diferencial simple, cuya solución implica que :

x = x0 + at

o dicho de otra manera, en un lapso T se espera que x se incremente aT. Por su parte, el término b dz es en realidad “b”-veces el proceso Wiener, es decir, “b”-veces la variabilidad inducida por el proceso de modo que tiene una desviación estándar de b.

Para un cambio en un intervalo de tiempo pequeño :

∆x = a ∆t + bε √∆t

donde ε sigue una distribución normal estándar. Podemos observar que ∆x sigue una distribución normal con una media de a ∆t, desviación b √∆t.

Un proceso de Wiener simple tiene una tasa de cambio esperada de 0 y una tasa de variabilidad de 1.

Proceso de Îto. Se dice que x sigue un proceso de Îto si es un proceso Wiener generalizado y además, la tasa esperada de cambio y la variabilidad son funciones tanto de x como del tiempo t y dz es un proceso de Wiener

dx = a(x,t) dt + b(x,t) dz

Lema de Îto. Para una variable x que sigue un proceso de Îto dx una función G(x,t) también sigue un proceso de Îto con una tasa de cambio esperada y una variabilidad expresadas en términos de las derivadas parciales de a y b.

Modelado de precios de acciones con procesos estocásticos.

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