Tasa Interna De Retorno

1. TASA INTERNA DE RETORNO

La tasa Interna Retorno, TIR, es uno de los índices que más aceptación tiene dentro del público

porque está midiendo la rentabilidad de una inversión, que es una característica propia del proyecto. Matemáticamente viene a ser la tasa a la cual el VPN se hace igual a cero.

Este índice exige el máximo de cuidado en su aplicación pues en ocasiones puede dar un resultado distinto al obtenido con el VPN, cuando esto ocurre es porque el índice TIR no se ha aplicado correctamente y en tales circunstancias será necesario utilizar otra técnica para calcular la TIR puesto que los resultados obtenidos con éste último índice deben ser consecuencias con el VPN.

1.1 Características de la TIR

a. Es una característica propia del proyecto por tanto no varía aunque cambien los dueños del proyecto.

b. Mide la rentabilidad de los dineros que permanecen invertidos en el proyecto

c. No toma en cuenta lo que pueda ocurrir con los dineros que va devolviendo el proyecto.

El procedimiento que se use para calcular la TIR varía dependiendo del número de alternativas a analizar y de la forma como se encuentren distribuidos los ingresos y los egresos a lo largo del horizonte de planeación; veamos algunos casos:

a. Cuando ingresos y egresos tienen una duración indefinida

Ejemplo

Una persona desea construir un puente sobre un río que atraviesa la finca de su propiedad, él calcula que su costo puede ser de $1 millón y los ingresos mensuales que obtendría por concepto de peajes son del orden de $30.000. Suponiendo que la duración del puente viene a ser indefinida. Cuál sería la rentabilidad que le generaría tal inversión?

Solución:

Como se trata de hallar la tasa i a la cual el VPN = 0 se tendrá:

De donde se obtiene que i es el 3% efectiva mensual.

Aclaramos que i debe ser efectivo mensual desde que los ingresos de $30.000 son mensuales.

Ejemplo

Si en el ejemplo anterior se sabe que el gobierno tiene proyectado construir una nueva carretera con su respectivo puente a lo sumo en un plazo máximo de 6 años, lo cual haría obsoleto el puente objeto de éste proyecto. Cuál sería la rentabilidad de la inversión bajo estas nuevas circunstancias?

Solución:

En estas condiciones, el número máximo de ingresos es de $30.000 y en los 6 años habrá 72 ingresos, por tanto:

VPN = - 1000000 + 30000 (P/A, i, 72)

Reemplazando dividiendo por 30.000 se tiene:

Como puede apreciarse, el tratar de despejar i de esta ecuación es bastante complicado por lo que se aconseja usar una computadora o utilizar el método manual de ensayo y error hasta encontrar dos valores de i, no muy alejados, que hagan que la función sea una vez positiva y otra negativa para efectuar una interpolación así:

Si escogemos para i = 3% y hacemos el cálculo correspondiente se tendrá:

Si escogemos para i = 2% y volvemos ha hacer los cálculos hallaremos que la función toma el valor de 4.6573.

Ahora tenemos los dos valores que nos proponíamos buscar procederemos a interpolar; para ello, disponemos el trabajo, haciendo el siguiente raciocinio (que posteriormente lo justificaremos). Con el 3% tenemos un valor negativo de -3.964824 y con el 2% tenemos un valor positivo de 4.65073. A qué tasa la función tomará el valor de cero?

Tomando tres decimales

La relación que señala con corchetes entre los números de la izquierda debe ser la misma que se señala con los corchetes del lado de la derecha; por lo tanto podemos establecer las siguientes relaciones con las diferencias:

Al despejar X de ésta ecuación se tiene: X = 2.54% efectiva mensual. El resultado exacto usando una computadora es i = 2.489113888% efectiva mensual.

Observación: el resultado obtenido mediante la interpolación no es exacto, pero si se quiere una mayor aproximación se puede hacer interpolación con un intervalo más pequeño (entre más pequeño sea el intervalo la aproximación es mayor, pero para fines prácticos un intervalo de un punto porcentual es suficiente).

b. Cuando ocurre varios ingresos y varios egresos pero en forma entreverada entonces puede ocurrir que existan varias tasas.

En este caso se vuelve un problema puramente matemático y la regla de los signos de Descartes (más adelante enunciaremos) nos permite determinar el número máximo de raíces que tiene un polinomio de la forma:

A0Xn + A1Xn-1 + A2Xn-2 + ……………An = 0

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