Educativo

Se toma una muestra de 49 observaciones de una población normal con una desviación estándar de 10. La media de la muestra es de 55. Determine el intervalo de confianza de 99% para la media poblacional.

Describir el parámetro poblacional de interés.

El parámetro de interés es la media poblacional (µ).

Especificar los criterios del intervalo de confianza.

Comprobar supuestos.

Se conoce la desviación estándar poblacional (σ). Y se trata de una distribución normal.

Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar para la desviación estándar conocida.

Como se conoce la desviación estándar de la población se manjará la distribución z y la formula a utilizar será  ±z σ/√n.

Establecer el nivel de confianza.

El nivel de confianza es de 99%.

Recolectar y presentar hechos muestrales.

n = 49,  =55, σ = 10,

Determinar el intervalo de confianza.

Determinar el valor de z, dependiendo el nivel de confianza.

Se sabe que el 99% de las observaciones se encuentra ubicado en el centro de la distribución y entre dos valores de z. Por consiguiente el 1% restante se divide en partes iguales en las dos colas de la campana.

99% = .9900 1-.9900= .0100 .0100 ÷2=.0050

Este valor lo buscamos en la tabla de distribución normal estándar y nos dará como resultado z = -2.58, pero como la distribución es normal y por lo tanto simétrica el otro valor de z es: z = +2.58, entonces z = ±2.58

Encontrar el error estándar de la muestra y multiplicarlo por el valor de z, de esta forma se obtiene el valor del margen de error ó error máximo de estimación

σ_= σ/√n =10/√49 =1.4285

Margen de error = z ×σ/√n =2.58 ×1.4285 =3.6857

Encontrar los límites de confianza inferior y superior.

 +z σ/√n 55 +3.6857=58.6857

 -z σ/√n 55 -3.6857=51.3142

Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.

El intervalo de confianza del 99% para la media poblacional µ es de 51.3142 a 58.6857

LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA POBLACIÓN ES DESCONOCIDA (σ).

En la mayoría de los casos de muestreo no se conoce la desviación estándar de la población (σ), y por lo tanto no se puede utilizar la distribución z para calcular el intervalo de confianza para la media poblacional (µ). Sin embargo se puede utilizar la desviación estándar de la muestra y sustituir la distribución z con la distribución t.

La distribución t se calcula con la siguiente fórmula: t = ( - μ)/(s/√n)

Donde:

 = Media muestral.

µ = Media poblacional.

s = Desviación estándar de la muestra, es un estimador puntual de la desviación estándar poblacional.

n = numero de observaciones de la muestra.

Características de la distribución t.

Es una distribución continua.

Tiene forma de campana y es simétrica.

Existe una familia de distribuciones t. Todas las distribuciones t tienen una media de 0, y sus desviaciones estándar difieren de acuerdo con el tamaño de la muestra.

Es plana o más amplia que la distribución normal estándar.

Para crear un intervalo de confianza para la media poblacional con la distribución t se utiliza la siguiente fórmula:

FORMULA.

Donde:

 = Es la estimación puntual (media muestral) y punto central del intervalo.

t = Valor de t, que depende del nivel de confianza.

s/√n = Es el error estándar, la desviación estándar de la distribución muestral de las carro medias muestrales.

La distribución t cuenta con una tabla para localizar el valor de t en intervalos de confianza, dependiendo el nivel de confianza que se requiera. Existe una columna que se identifica como “GL” ó grados de libertad. El número de grados de libertad es igual al número de observaciones en la muestra menos el número de muestras.

PROCEDIMIENTO:

Describir el parámetro poblacional de interés.

Por ejemplo la media poblacional (µ).

Especificar los criterios del intervalo de confianza.

Comprobar supuestos.

Si se conoce o no la desviación estándar poblacional (σ). Si se trata de una distribución normal.

Identificar la distribución de probabilidad y la formula a utilizar (para la desviación estándar conocida o desconocida).

Cuando no se conoce la desviación de la población estándar de la población se utiliza la distribución t y la formula a utilizar será  ±t s/√n.

Establecer el nivel de confianza.

El que determine el problema. Por ejemplo 90%, 85%...

Recolectar y presentar hechos muestrales.

Recolectar la información muestral que se presente en el problema, como el tamaño de muestra (n), la media muestral (), etc.

Determinar el intervalo de confianza.

Determinar el valor de t, dependiendo el nivel de confianza.

Hay que buscar en la tabla la columna “Intervalos de confianza” y localizar el nivel de confianza que se requiere. Y en la columna “GL” buscar los grados de libertad, haciendo lo siguiente: al número de observaciones en la muestra hay que restarle el número de muestras. n – 1. Por último ver el valor de t que resulte de acuerdo al nivel de confianza y los grados de libertad que calculamos.

Obtener el margen de error

Margen de error = t ×s/√n

Encontrar los límites de confianza inferior y superior.

El límite de confianza superior se encuentra sumando el valor de la media muestral () con el valor del margen de error.  +t s/√n

El límite de confianza inferior se encuentra restando valor del margen de error del valor de la media muestral ().  -t s/√n

Presentar los resultados y establecer el intervalo de confianza.

El intervalo de confianza del (nivel de confianza: 95%, 80%, etc.) para la media poblacional µ es de (límite de confianza inferior) a (límite de confianza superior).

EJEMPLO:

La Asociación Estadounidense de Productores de Azúcar desea calcular el consumo medio de azúcar por amo. Una muestra de 16 personas revela que el consumo medio anual es de 60 libras, con una desviación estándar de 20 libras. Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la población.

Describir el parámetro poblacional de interés.

Es la media poblacional (µ).

Especificar los

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