Probabilidad y la estadística

CONCEPTO DE CONJUNTO

El concepto de conjunto es un pilar fundamental de la probabilidad y la estadística.

Un conjunto puede considerarse como una colección de datos, llamados miembros o elementos del conjunto. En general mientras no se especifique lo contrario, denotamos a un conjunto por las letras mayúsculas A, B, C, y a un elemento por una letra minúscula a, b, c.

Sinónimos de conjunto son CLASE, GRUPO y COLECCIÓN.

Si un elemento a pertenece a un conjunto C escribimos a∈C. Si a no pertenece a C escribimos a∉C.

Si a y b pertenecen a C escribimos a,b∈C. Para que un conjunto sea bien definido, debemos estar capacitados para determinar si un objeto específico pertenece o no a un conjunto.

Un conjunto puede definirse haciendo una lista de elementos o, si esto no es posible, describiendo alguna propiedad conservada por todos los miembros y por los no miembros. El primero se denomina el método de extensión y el segundo el método de comprensión.

EJEMPLOS

El conjunto de las vocales en el alfabeto puede definirse por el método de extensión como {a,e,i,o,u} o por el método de comprensión como {x|x es una vocal}, léase “el conjunto de los elementos x tales que x es una vocal” donde la línea | se lee “tal que o dado que”.

El conjunto {x|x es un triángulo en el plano} es el conjunto de los triángulos en un plano. Obsérvese que el método de extensión no puede utilizarse aquí.

Si lanzamos un par de dados comunes los “números” o “puntos” posibles que pueden resultar sobre la cara superior de cada dado son elementos del conjunto {1,2,3,4,5,6}.

SUBCONJUNTOS

Si cada elemento de un conjunto A también pertenece a un conjunto B llamamos a A un subconjunto de B, escrito A⊂B y B⊃A y leído “A está contenido en B” o “B contiene a A” respectivamente. Se sigue que para todos los conjuntos A tenemos A⊂A.

Si A⊂B y B⊂A llamamos a A y B iguales y escribimos A=B. En este caso A y B tienen exactamente los mismos elementos.

Si A no es igual a B, es decir si A y B no tienen exactamente los mismos elementos, escribimos A≠B.

Si A⊂B pero A≠B llamamos a A un subconjunto propio de B

EJEMPLOS.

{a,i,u} es un subconjunto propio de {a,e,i,o,u}

{i,o,a.u,e} es un subconjunto, pero no un subconjunto propio, de {a,e,i,o,u}, puesto que los dos conjuntos son iguales.

Al lanzar un dado los resultados posible es cuando el resultado es “par” son elementos del conjunto {2,4,6}, el cual es un subconjunto (propio) del conjunto de todos los resultados posibles {1,2,3,4,5,6}.

TEOREMA. El teorema siguiente es verdadero para cualquier conjunto A,B,C.

Si A⊂B y B⊂C,entonces A⊂C

CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACÍO

Para muchos propósitos restringimos

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