PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

2.1 Teoría de conjuntos.

2.1.1 Definición propiedades y operaciones básicas con conjuntos.

2.1.2 Técnicas de conteo.

Para determinar el espacio muestral o el tamaño del espacio muestral, es necesario desarrollar algunas técnicas de enumeración las cuales son:

• El Diagrama de Árbol

• Análisis Combinatorio.

2.1.3 Reglas de adición.

2.1.4 Reglas de multiplicación.

2.1.5 Diagrama de árbol.

Los diagramas de árbol son ordenaciones empleadas para enumerar todas las posibilidades lógicas de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un número finito. Proporcionan un método sistemático de enumeración objetiva de los resultados.

Raíz

A continuación, se presenta un Diagrama de Árbol, referente a las respuestas que se pueden dar a tres preguntas de Verdadero o Falso.

Tenemos dos opciones posibles para cada pregunta, V o F el árbol presenta dos ramas en cada pregunta.

1) La teoría de conjuntos fue desarrollada por G. Cantor.

a) V b) F

2) G. Cantor es de origen francés.

a ) V b) F

3) La teoría de conjuntos sirve para simplificar la Estadística.

Las diferentes formas en que se puede contestar son ocho y forman el espacio muestral.

S = {VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV, FFF}

Se tienen en un estante 3 libros uno de Álgebra, otro de Contabilidad y otro de Biología. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar los libros?

C B

B C

{ACB, ABC, BCA, BAC, CAB, CBA}

2.1.6 Análisis combinatorio.

Los diagramas de árbol muestran objetivamente el número de resultados posibles en que se puede disponer de la ordenación de un conjunto de elementos, pero esta enumeración es limitada, pues a medida que aumenta el número de objetos dicha ordenación se complica, por lo que hay que utilizar otro procedimiento más sencillo para determinar el número total de resultados. Con este fin, nos apoyaremos en los conceptos permutaciones y combinaciones, los cuales tienen como base el principio fundamental del conteo.

2.2 Combinaciones y permutaciones

• PERMUTACIONES

Una permutación de un conjunto de elementos, es un ordenamiento específico de todos o algunos elementos del conjunto, facilita el recuento de las ordenaciones diferentes que pueden hacerse con los elementos del conjunto.

Nota: En una permutación el orden en que se disponen los elementos del conjunto es importante.

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS

Por el principio fundamental del conteo podemos enunciar que el número de permutaciones de n objetos distintos tomados de n en n, es:

nPn =n!

Se quiere conocer el conjunto de todas las disposiciones posibles de tres personas colocadas en hilera para tomar una fotografía.

3P3 = 3! = 6

Cinco personas desean nombrar un Comité Directivo compuesto de un presidente, un vicepresidente, un secretario, un tesorero y un vocal. ¿Cuántas maneras hay de constituir el comité?

5P5 = 5! = 120

Hay seis banderas de distintos colores. ¿Cuántas señales diferentes se pueden enviar usando las seis banderas al mismo tiempo?

6P6 = 6! = 720

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS EN DIFERENTES GRUPOS DE r ELEMENTOS.

Podemos calcular el número de permutaciones nPr, de n elementos, tomados en grupos o subconjuntos de r elementos.

n!

n Pr =

(n − r)!

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