Ingenieria

Posición y velocidad en coordenadas polares

La posición del punto P es

x=r•cos

y=r•sen

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

CALCULAMOS LAS COMPONENTES RECTANGULARES DE LOS VECTORES UNITARIOS R Y  .

vemos que

Las componentes del vector velocidad en coordenadas polares son, por tanto

La energía y el momento angular en coordenadas polares

La expresión de la energía en coordenadas polares es

Donde k/r es la energía potencial correspondiente a la fuerza conservativa F=k/r2.

Con k=-GMm si la interacción es gravitatoria

si la interacción es de tipo eléctrico

• K ES NEGATIVO SI LA FUERZA ES ATRACTIVA

• K ES POSITIVO SI LA FUERZA ES REPULSIVA

Expresamos el momento angular L en coordenadas polares

Despejando d /dt en la expresión del momento angular y la introducimos en la expresión de la energía. Tenemos dos ecuaciones

Ecuación de la trayectoria

Eliminamos dt entre estas dos ecuaciones para obtener la ecuación de la trayectoria

Para integrar se hace el cambio u=1/r

Tenemos una integral del tipo

con a=L2/(2m), b=k, c=E

Hacemos el cambio

Ahora, vamos deshaciendo los cambios

Hay dos posibles soluciones según el signo de b o de k.

Si k o b es positivo

Si k o b es negativo

La primera, es la ecuación de una hipérbola en coordenadas polares

La segunda, es la ecuación de una cónica (elipse, parábola o hipérbola) dependiendo del valor de la excentricidad  .

Graficando un punto en coordenadas polares

________________________________________

UN PUNTO EN EL PLANO SE ENCUENTRA EN LA INTERSECCIÓN DE UN CÍRCULO (R=CTE) CON UN RAYO (ÁNGULO=CTE). LAS COORDENADAS POLARES DE UN PUNTO P EN EL PLANO SON EL PAR ORDENADO (R,A).

OBSERVA CUALES SON LAS COORDENADAS POLARES DEL PUNTO Y DÓNDE SE ENCUENTRA DICHO PUNTO.

CONVENCIONES:

1) Los ángulos A > 0 se miden en el sentido opuesto a las manecillas del reloj a partir del eje polar, en tanto que los ángulos negativos se miden en el sentido de las manecillas de reloj.

2) Para localizar el punto (r,A) si r < 0, se grafica el punto (|r|,A+ ).

3) Las coordenadas del polo O son (0,A), donde A es cualquier ángulo.

A diferencia de las coordenadas cartesianas (o rectangulares), las coordenadas polares de un punto no son únicas.

Las coordenadas polares (r,A) y (r,A+2n ) con n entero, corresponden al mismo punto.

3.2.6 Área en coordenadas polares

________________________________________

En esta sección aprenderemos a calcular el área de la región comprendida entre dos rayos y una curva dada por una ecuación polar r=f(t).

Supongamos que r=f(t) es una función continua no negativa en un intervalo [ , ]. Queremos evaluar el área comprendida entre la curva y los rayos t= y t= , con 0< < <2 .

________________________________________

Ejemplo:

Empezaremos como ya es costumbre, calculando

...