Calculo de centroides.

3.7 Cálculo de centroides

Momento de superficie; centro de gravedad. El centro de gravedad de una superficie plana se define del modo siguiente:

Un trozo de cartón rígido, plano y horizontal, permanecerá en equilibrio si se sostiene en un punto determinado. Este punto de apoyo es el centro de gravedad de la superficie plana del cartón.  

Para algunas superficies que se estudian en la geometría elemental, las posiciones de los centros de gravedad son evidentes. Para un rectángulo o un círculo, el centro de gravedad coincide con el centro geométrico de la figura. En general, si una figura plana tiene un centro de simetría, ese punto es el centro de gravedad. Además, si una figura plana tiene un eje de simetría, el centro de gravedad estará en ese eje.      

Las siguientes consideraciones conducen a la determinación del centro de gravedad mediante el cálculo integral. La justificación del argumento a partir de los principios fundamentales de la mecánica queda fuera del propósito de este documento de Word.  

[pic 1]

Consideremos la superficie AMPNB de la figura 158. Dividámosla en  rectángulos, cada uno con base . La figura muestra uno de estos rectángulos. Sea  su área, y  su centro de gravedad.  Entonces, .     [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

El momento de la superficie de este rectángulo elemental con respecto a  y  es el producto de su área por la distancia de su centro de gravedad a  y . Si estos momentos son respectivamente  y , entonces .  [pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

El momento de la superficie de la figura AMPNB se obtiene aplicando el teorema fundamental del cálculo a la suma de los momentos de las superficies de los rectángulos fundamentales. De este modo obtenemos .   [pic 14]

Por último, si  es el centro de gravedad de la figura AMPNB y A es su área, las relaciones entre los momentos de superficie   y  y  se dan por .   [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]

A fin de calcular , hallaremos los momentos  y . Según  y  estos son, para la figura 158,  , en donde debe sustituirse el valor de  en función de  deducido de la ecuación de la curva . [pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

Si el área se conoce, entonces, de (C) tenemos (3) . Si A no se conoce, puede obtenerse por integración tal como lo vimos en el apartado 3.1.     [pic 29]

Ejemplo 1. Hallar el centro de gravedad de la superficie comprendida bajo una arcada de la sinusoide ver (fig. 159).   [pic 30]

[pic 31]

Solución. Construyendo un rectángulo elemental, tenemos  .[pic 32]

Los límites son , . Por tanto,  [pic 33][pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

 para esta integral utilizamos la integración por partes  elegimos  tambien   [pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]

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