Actividad 6 Ecuaciones Diferenciales

Segunda actividad:

A continuación se presenta una situación problema que el estudiante con su grupo colaborativo debe buscar la manera de resolver teniendo en cuenta los siguientes elementos:

Leer y analizar el problema, realizar una lista de conocimientos previos y de lo que no se conoce, preparación y discusión en grupo, solución del problema.

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días).

Los datos que podemos extraer del enunciado son los siguientes:

Volumen del lago 〖1000 millones de m〗^3

Caudal entrante al lago 1000 m^3/s

Caudal saliente del lago 1000 m^3/s

Sustancia contaminante 1 〖 m〗^3/s

Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo y entonces estará en función del (t).

Taza de entrada al algo A A= 1000 m^3/s

Taza de salida del lago B B= 1000 m^3/s

Concentración entrada C1= 1 m^3/s

Concentración saliente depende del tiempo C (t)

V (t) Volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo.

Q (t) Cantidad de contaminante en cualquier instante

C (t) Concentración que hay en cualquier tiempo

C( t)=(Q(t))/(V (t))

Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas

Variación del volumen depende del tiempo dv/dt=A-B

La variación del volumen es lo que entra menos lo que sale dv=(A-B)dt

Integramos ambos lados de la ecuación ∫▒〖dv=∫▒(A-B)dt〗

Solucionando las integrales v=(A-B)(t)+C

Para hallar C partimos de una condición inicial del volumen en t=0

v(0)=(A-B)(0)+C

v(0)=C

Como A y B son iguales el volumen en todo tipo es el mismo

V (t)=1000 millones de metros cubicos

Ahora para Q

dQ/dt=R1-R2

R1=razon de entrada=A*C1

R2=razon de salida=B*C(t)

=B*(Q(t))/(V(t))

dQ/dt=A*C1-(B*Q(t))/(V(t))

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