Algoritmos Y Programación

Sesión 14

Prueba de hipótesis sobre relación entre variables cualitativas: Chi-Cuadrado

Aplicar la prueba Chi Cuadrada en los trabajos de aplicación de su especialidad

Realizar una prueba de hipótesis que compare un conjunto observado de frecuencias versus una distribución esperada

Realizar una prueba de hipótesis para determinar si hay alguna relación de dependencia o independencia entre dos criterios de clasificación

Valora el uso de la Chi cuadrada para probar independencia de criterios

Valora el uso de la Chi cuadrada como una prueba para ajustar un conjunto de datos a una distribución estadística

Uso de la Ji Cuadrado. Prueba de bondad de ajuste. Prueba de independencia.

INTRODUCCION

En numerosas ocasiones, se necesita analizar la relación de dependencia o independencia entre dos variables de tipo cualitativo o categórico.

A estas variables también se les denomina factores, mientras que a las distintas categorías de la variable se les suele denominar niveles.

Existen diferentes pruebas para medir la dependencia entre dos variables cualitativas, entre ellas la prueba ji-cuadrado en sus diferentes versiones.

PRUEBA JI-CUADRADO (X2)

La prueba χ² de Pearson es considerada como una prueba no paramétrica que mide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste), indicando en qué medida las diferencias existentes entre ambas se deben al azar en la prueba de hipótesis. También se utiliza para probar la independencia de dos variables entre sí, en una tabla de contingencia. La fórmula que da el estadístico es la siguiente:

Cuanto mayor sea el valor de χ2, menos verosímil es que la hipótesis sea correcta. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.

Los grados de libertad gl vienen dados por :

gl= (r-1)(k-1). Donde r es el número de filas y k el de columnas.

La prueba ji-cuadrado de Pearson (X2) es una de las pruebas más utilizadas.

También podremos encontrarla bajo el nombre de “chi-cuadrado”, siendo su origen la traducción al castellano del término inglés “chi-squared”.

Se aplica principalmente para estudiar la asociación entre dos variables categóricas o cualitativas y para comparar proporciones o porcentajes.

Esta prueba no mide el grado o la fuerza de la asociación entre dos variables categóricas, para ello ya existen medidas como la odds ratio o el riesgo relativo, adecuadas para estos fines.

Su uso no está restringido únicamente para variables dicotómicas. Si alguna de las dos variables es de naturaleza ordinal, se debe aplicar la prueba ji-cuadrado de tendencia lineal como veremos más adelante.

La prueba X2 puede aplicarse con una sola variable para comparar valores observados respecto a esperados, aunque su uso más frecuente es para comparar dos proporciones.

Una de sus limitaciones es que requiere un tamaño muestral suficientemente grande y aunque su cálculo es sencillo, no lo es tanto el entender su procedencia y su interpretación.

Simplemente diremos que los valores que toma el estadístico ji-cuadrado con un grado de libertad corresponden a los obtenidos a una distribución normal estandar elevados al cuadrado, y que por tanto la prueba ji-cuadrado solo tiene una cola tomando únicamente valores positivos.

Ejemplo

Supongamos que realizamos un estudio en 45 pacientes en el que deseamos estudiar la relación entre el hábito tabáquico y EPOC diagnosticado mediante espirometría obteniendo los resultados de la Tabla I. Podemos ver que 15 pacientes de 25 (60%) tenían EPOC dentro del grupo de fumadores, mientras que tan solo 5 de 20 (25%) presentaron EPOC en el grupo de no fumadores. Desde un punto de vista clínico las diferencias son importantes, pero ¿lo serán desde un punto de vista estadístico?

Fumador

EPOC No Sí Total

No 15 (75%) 10 (40%) 25 (55,6%)

Sí 5 (25%) 15 (60%) 20 (44,4%)

Total 20 (100%) 25 (100%) 45 (100%)

Tabla I. Relación entre EPOC y hábito tabáquico. Frecuencias observadas y porcentajes de columna.

Hipótesis Nula (Ho): La proporción de pacientes con EPOC es la misma en el grupo de fumadores que en el de no fumadores.

Hipótesis alternativa (Ha): Las proporciones son distintas.

Si la proporción es distinta, tenemos en cuenta las dos posibilidades que existen: que la proporción de pacientes con EPOC sea más alta o más baja en los fumadores, por lo tanto la prueba es bilateral o también denominada de “dos colas”.

Entonces tenemos: Ho : P_fumadores=P_(no fumadores)

Ha: P_fumadores≠P_(no fumadores)

Si al calcular el valor X2, que es la diferencia entre lo observado y lo esperado, sobrepasamos cierto valor crítico, diremos que las diferencias encontradas son demasiado grandes como para poder ser explicadas por el azar.

Si en nuestro estudio tenemos 20 pacientes con EPOC de 45 personas (44%), para que la hipótesis nula fuese cierta, tendríamos que tener la misma proporción de pacientes con EPOC en los fumadores y en los no fumadores. Es decir, de los 25 fumadores, esperamos tener (25*20)/45, que serían 11 fumadores aproximadamente. De este modo obtendríamos las frecuencias esperadas para el resto de las 3 celdas (Tabla II). Una vez conocidas las frecuencias esperadas, sólo nos queda calcular el valor de la expresión X2 que es una simple suma de unas diferencias al cuadrado:

Fumador

EPOC No Sí Total

No 11,1 (55,6%) 13,9 (55,6%) 25 (55,6%)

Sí 8,9 (44,4%) 11,1 (44,4%) 20 (44,4%)

Total 20 25 45

X2 = 5.51

Si miramos en las tablas de la distribución ji-cuadrado para un grado de libertad, podemos ver que la significación estadística p<=0,05, se alcanza para aquellos valores de X2 iguales o superiores a 3,84. Como el valor obtenido en nuestro estudio; 5,51 es mayor al valor crítico de 3,84, podemos rechazar la hipótesis nula (H0) y afirmar que las diferencias encontradas difícilmente pueden ser explicadas por el azar, siendo mayor la proporción de pacientes con EPOC en los fumadores (p<0,05).

PRUEBA DE INDEPENDENCIA: JI-CUADRADA

EJERCICIOS

Estamos interesados en estudiar la relación entre cierta enfermedad y

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