Binomial

La distribución binomial es unas de las distribuciones de probabilidad discreta más importantes. Recordemos que en una distribución de probabilidad discreta, la variable aleatoria asigna un valor numérico a cada resultado en el espacio muestral del experimento. La distribución binomial tiene que ver con una clase especial de experimento llamado experimento binomial.

A. EXPERIMENTO BINOMIAL

Un experimento que tiene exactamente dos posibles resultados o dos categorías de resultados conocidos como "éxito" o "fracaso".

Ejemplos 1. Experimento: Lanzar una moneda.

El experimento tiene solamente dos resultados (H, T), por lo tanto es un experimento binomial.

2. Experimento: Probando una nueva droga contra una enfermedad.

La droga cura (éxito) o no cura (fracaso) la enfermedad. Por lo tanto es un experimento binomial.

3. Experimento: Un jugador gana si obtiene un número mayor que 4 y pierde si obtiene cualquier otro número en el lanzamiento de un dado.

Los resultados del experimento (lanzar un dado) se puede poner en una de dos categorías:

Los resultados en la primera categoría se definen como "éxito" y los resultados en la segunda categoría se definen como "fracaso".

B. PROCESO BERNOULLI

Digamos que la variable aleatoria (x) es la cantidad de éxitos. Contar la cantidad de éxitos en un intento de un experimento binomial no es muy interesante debido a que la variable aleatoria (x) puede asumir solamente dos (1, 0) posibles valores. Supongamos que repetimos un experimento binomial siguiendo un procedimiento especial llamado proceso Bernoulli.

Proceso Bernoulli Un experimento binomial se repite tal que:

1. La probabilidad de éxito es igual para cada intento del experimento.

2. Los resultados de los intentos son independientes

entre sí.

Si un experimento binomial se repite n veces según un proceso Bernoulli, entonces la variable aleatoria (x) puede asumir los valores 0, 1, 2, …, n.

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria (número de éxitos) (x) se llama distribución binomial. Para definir completamente esta distribución deberíamos, ya sea completar una tabla, o describir la distribución con una fórmula. Preferimos la fórmula, debido a su simplicidad.

C. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La probabilidad de obtener x número de éxitos en n intentos independientes de un experimento binomial esta dado por:

knxqpknknxP)!(!!)(

para k = 0, 1, 2, … , n , donde p es la probabilidad de éxito en cada intento y q la probabilidad de fracaso (1 - p).

Ejemplo: Si una moneda se lanza 15 veces, encuentre la probabilidad de obtener exactamente 10 caras.

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