CALCULO DIFERENCIAL

CALCULO DIFERENCIAL

FASE 1

A Halle los términos generales de las sucesiones

Cn = [3, 1,-1,-3, -5… … …]

C1 = 3, C2 = 1, C3 = - 1,…

C2 - C1 = 1 – 3 = - 2, C3 – C2 = - 1 - 1 = - 2,… Cn + 1 - Cn = -2

Por teorema de residuo tenemos

Cn = C1 + ( n – 1 ) d , donde =d -2 y C1 = 3 en este caso luego

Cn = 3+ ( n – 1 ) – (-2 ) = 3 – 2 n + 2 = 5 – 2 n

Cn = [ 1, 3, 9, 27, 81, … … … ]

C1 = 1, C2 = 3, C3 = 9

C2 – C1 = 3 – 1 = 2, C3 – C2 = 9 – 3 = 6, C4 – C3 = 27 – 9 = 18, luego

d1= 2, d2= 6 y d3 = 18, por tanto d2 = d1 .3, d3 =d2 .3…, dn+1 = dn.3

Así, d3 = (d1.3) .3 = d1. 32,… dn +1 = d1 .3n 2. 3n y tenemos dn = 2.3n-1

Además C2 = C1 .3, C3 = C2 .3, C4 = C3 . 3 … Cn+1= Cn.3, por tanto

C3 = (C1 .3 ) .3 = C1 .32, C4 = (C1 .32 ).3 = C1 .33 ... Cn+1 = C1 .3n = 3n,,

Tenemos Cn .3 = 3n, así Cn = 3^n/3 = 3n-1

Cn = [1/2, 3/4, 1, 5/4,3/2]

C1 = 1/2 , C2 = 3/4 , C 3 = 1 , C4 5/4

C2 – C1 = 3/4-1/2=1/4, C3 – C2 = 1 - 3/4=1/4 … Cn+1 – Cn = 1/4 = d

Cn = C1 + ( n-1 ) . d = 1/2 + ( n-1 ) .1/(4 ) = (2+(n-1))/4 = (n+1)/4, Cn (n+1)/4

FASE 2

B Sucesiones monótonas.

Demostrar que la sucesión On = { 2n/(n+1) } es estrictamente creciente

On+1 = 2(n-1)/((n+1)+1) = (2n+2)/(n+2)

Como

O< 2 , tenemos : O + 2n2 + 4n < 2 + 2n2 + 4n

Asi 2n ( n+2 ) < 2n2 + 2n + 2n + 2

2n ( n+2 ) < 2n ( n+1 ) + 2 ( n+1 )

2n ( n+2 ) < ( 2n + 2 ) ( n + 1 )

Por lo tanto (2 n)/(n+1 ) < (2n+2)/(n+2)

Y concluyo

On < O n+1 lo que implica

Que O es estrictamente creciente

Demostrar que On = {2n/(n+1 )} es estrictamente decreciente

On+1 = 1/(n+1 ) como n+1 > n tenemos =1/n > 1/(n+1)

Luego On > On+1 luego O es estrictamente decreciente

C. Sucesiones acotadas. Halle las cotas de las siguientes sucesiones y determinar con ellas si son o no crecientes.

On =(3n^2+ 1)/(6n^(2 )+ 2n +1)

N ≥ 1 → n2 ≥ 1 y 2n ≥ 2 → 3n2 ≥ 3 y 3n2 + 2n ≥ 3 + 2 = 5 > 1

Esto es 3n2 + 2n > 1 ademas 3n2 < 3n2 + 1 por lo tanto

3n2 + 1 < ( 3n2 + 2n ) +( 3n2+ 1 ) = 6n2 + 2n + 1 , asi

On = (3n^2+ 1)/(6n^2+ 2n+1) < 1 luego 1 es una variable cota para On

Y además On no es creciente luego O < On < 1

On = (5n+1)/n^2

n≥ 1 → n2 ≥ 1 y 1/n^2 ≤ 1 , 1/n ≤ 1 → 5/n ≤ 5 luego

1/n^2 + 5/n ≤ 1 + 5 = 6 asi On = (1+ 5n)/n^2 ≤ 6, 6 es cota para On

Por lo tanto On no es creciente y O

...