CANTIDAD DE CEROS EN EL 1000!

Como siempre sucede en este tipo de problema, lo primero que uno busca es encontrar elementos en los cuales basarse para enfocar el problema.

Considerando que el número final debía terminar en: al menos tantos ceros como múltiplos de diez existen entre 1 y 1000.

Lo que hay qué hacer es contar cuántas veces aparecen los números 2 y 5 en la descomposición en primos de 1000!. Nos interesan 2 y 5 porque 2x5 = 10 y cada factor 10 añade un cero al número en cuestión.

Como cualquier factorial es un producto de números primos, algunos de los cuales se repiten, o sea están elevados a determinada potencia, el problema se reduce a determinar cuántos pares 2x5 existen en 1000! Por lo tanto aquí termina la etapa de “observación”

Dado que 5 a la quinta es más que 1000, el cinco podía estar a lo sumo cuatro veces en cada uno de los números que forman 1000!.

Ahora como en 1000! aparecen los factores 5, 10, 15, 20, . . . habrá tantos factores 5 como el 5 "quepa" en 1000. Formalicemos este enunciado:

Dejemos que el símbolo [x] represente la parte entera del número x, así, por ejemplo,

[2.5]=2

[4.99]=4

[π]=3

Entonces el número de veces que 5 aparece como factor de 1000! es:

[1000/5]=200

Pero todavía nos falta del 25 ya que solo contamos un factor 5, pero tiene dos porque 25=52. Lo mismo haremos con 125=53 y 625=54 tenemos:

[1000/25]=40

[1000/125]=8

[1000/625]=1.

Así, el total de veces que 5 aparece como factor en 1000! es

200 + 40 + 8 + 1 = 249. Ceros.

En síntesis, cualquier factorial es un producto de números primos elevados a determinadas potencias. O dicho de otra forma: Todo factorial puede expresarse como producto de potencias de números primos. Preguntarse en cuántos ceros termina un factorial, equivale a preguntarse a qué potencia está elevado el número cinco en dicho factorial.

Números primos: Podemos definirlo como aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él.

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