Calculo Diferencial
Enviado por rocaquema • 26 de Septiembre de 2012 • 1.222 Palabras (5 Páginas) • 449 Visitas
4.4 Cálculo de volúmenes.
Volúmenes de sólidos obtenidos por revolución
Cuando una región en el plano rota alrededor de una línea recta tal que a lo suma esta línea es frontera de la región ( no la intersecta) se produce un sólido tridimensional que se llama sólido de revolución .
La recta alrededor de la cual rota la región se llama eje de rotación o de revolución.
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MÉTODO DE DISCOS:
Inicialmente la rotación será alrededor de una de los ejes coordenados
La región limitada por la gráfica de la curva las rectas el eje rota alrededor del eje .
Se hace una partición del intervalo para un subintervalo se toma
Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son discos circulares de radio . Así el volumen de un disco será de modo que
Al tomar el límite cuando la norma de la partición tiende a cero
Ejemplo 1: Utilizando rotación de una semicircunferencia alrededor del eje se puede verificar
que el volumen de una esfera es
Tomando la parte superior de la circunferencia y haciendo rotar la región limitada por la semicircunferencia y el eje alrededor del eje se obtiene
Ejemplo 2: La región limitada por la curva el origen , la recta el eje rota
alrededor del eje . Encontrar el volumen del sólido obtenido.
Los elementos que van a llevar a la expresión del volumen son perpendiculares al eje .
Al rotar se van a obtener discos cuyo volumen es para con lo cual
MÉTODO DE ARANDELAS:
Cuando se va a rotar una región limitada por dos curvas el sólido de revolución es hueco por dentro, las tajadas perpendiculares al eje de rotación son ahora arandelas o anillos.
Supongamos que tenemos dos curvas cuyas ecuaciones son y tal que las abscisas de sus puntos de intersección son y y que para ; la región limitada por las dos curvas va a rotar alrededor del eje . Las secciones transversales perpendiculares al eje de rotación son anillos acotados por dos círculos; cada anillo tiene un radio exterior y un radio interior , por lo tanto el área de la sección transversal es
A(x)=
y el volumen de cada sección transversal es con lo cual el volumen
Note que el radio exterior dado por la curva es mayor que el radio interior dado por y que la integral planteada proviene de una resta de volúmenes y no del volumen de una resta
Ejemplo 3: Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por y
alrededor del eje
Radio exterior va a estar dado por la curva ( que es la mayor en ordenada )
Radio interior por la curva ( que es la mayor en ordenada )
(unidades cúbicas)
Ejemplo 4:Encontrar el volumen del sólido obtenido al rotar la región limitada por las curvas
y alrededor: del eje alrededor de la recta
Las curvas son las mismas del ejemplo anterior.
Las secciones perpendiculares al eje de rotación son arandelas pero de ancho
El radio exterior corresponde a la mayor abscisa que es la de la curva y como es positiva Por lo tanto el radio interior corresponde a la curva cuyas abscisas son menores en el intervalo. El volumen de un anillo o arandela
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