Capitulo VII MODULACIÓN DISCRETA (DE PULSOS)

CAPITULO VII

MODULACIÓN DISCRETA (DE PULSOS)

     La mayoría de los sistemas de comunicación existentes son del tipo analógico, con el cual la señal portadora que se transmite varía en forma análoga a la señal mensaje. Los tipos de modulación que se emplean en estos sistemas con los ya discutidos de modulación en amplitud y modulación en frecuencia.

     Históricamente el primer tipo de comunicación por medio de señales eléctricas fue discreto o por pulsos. En efecto, el sistema Telegráfico de Morse (1848) codificaba primeramente el mensaje y después lo transmitía por medio de una corriente continua pulsante (señal discreta). En las últimas décadas, gracias al desarrollo de los circuitos lógicos y de las máquinas procesadoras de información de alta velocidad, se ha vuelto a poner la mira en las técnicas de comunicación digital. Hay varias razones para ello. Citaremos algunas:

a).- El efecto del ruido como distorsionador del mensaje es menor en la transmisión digital.

b).- Las fuentes de información y recepción no son (es la tendencia) seres humanos sino máquinas cuyo lenguaje es digital.

c).- Los circuitos lógicos que se usan en la codificación y decodificación digital, son cada vez más baratos.

d).- La disponibilidad de canales de ancho de banda cada vez mayor, hacen menos importante la desventaja de la transmisión digital sobre la analógica, consistente en requerir un ancho de banda más grande.

     Hay cuatro formas de modulación discreta o de pulsos: Modulación de Amplitud de Pulsos (PAM), Modulación de Duración de Pulsos (PDM), Modulación de  la Posición de Pulsos (PPM) y Modulación de Pulsos Codificados (PCM).

     En todas estas formas de modulación en lugar de transmitir continuamente la señal analógica, se transmiten sólo muestras de ella. Por eso la base de la modulación de pulsos  es el teorema de muestreo que se estudia en seguida.

7.1 TEOREMA DE MUESTREO.

     El teorema de muestreo establece que:

     Una función de tiempo  de banda limitada a  Hertz , es completamente determinada por sus valores tomados  a intervalos uniformes  de  segundos.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

     Lo anterior quiere decir que la información de la señal  está contenida en sus muestras tomadas a una velocidad numéricamente igual al doble de su frecuencia máxima .[pic 5][pic 6]

     En la figura 7.1 se dibuja la señal  y la señal muestreada . La operación de tomar las muestras, suponemos que la realiza un simple interruptor con un tiempo de cerrado sumamente pequeño (muestreador ideal), en forma tal que la señal muestreada  puede considerarse como una secuencia de impulsos ocurriendo en los instantes de muestreo El valor de cada impulso es igual al valor de la función  en el tiempo en el cual se aplica el impulso.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Figura 7.1 Operación de Muestreo Ideal.

     Véase que el muestrear la señal con un muestreador ideal equivale a multiplicarla por un tren de impulsos periódicos unitarios, así:

                                                                                                 (7.1)[pic 13]

Donde  es el tren de impulsos de periodo  que está definido (cap. II) por:[pic 14][pic 15]

                                                                                     (7.2)[pic 16]

Poniendo el resultado de la ec. 7.2 en la 7.1,  llega a ser:[pic 17]

                                      (7.3)[pic 18]

     La expresión en el dominio de la frecuencia de la señal muestreada  se saca a partir de la ec. 7.1, recordando que el producto de dos funciones en el tiempo corresponde a la Convolución en la frecuencia. Así:[pic 19]

                                                          (7.4)[pic 20]

Donde

                                                             (7.5)[pic 21]

De 7.4 y 7.5,  es finalmente;[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

(7.6)

     De esta ecuación se infiere que el espectro  de la señal muestreada, es el espectro  de la señal de información repetido periódicamente  cada  rad/seg. Observe (Fig. 7.2), que para que no haya sobrelapamiento entre los espectros  repetidos, se requiere que:[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

                                                                                                           (7.7)[pic 29]

Donde    y [pic 30][pic 31]

O lo que es lo mismo

[pic 32]

Y

[pic 33]

Por lo cual

[pic 34]

(7.8)

     De las ecuaciones 7.6 y 7.8, se comprueba que la información de  está contenida en sus muestras tomadas con un tiempo de separación de  seg. (Fig. 7.2). Además, la información puede ser recuperada de la señal muestreada por medio de un filtro pasa bajo si el período de muestreo es menor o igual a  segundos. Al período de muestreo  se le denomina intervalo de Nyquist.[pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

Figura 7.2 Proceso de muestreo en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. En la parte d de esta figura se puede observar que si  hay interferencia entre los espectros  por lo que no es posible extraer  el espectro  de  con un filtro.[pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL MUESTREO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO.

     Se supondrá como antes que la señal de información  es de banda limitada a  radianes por segundo (ó  Hertz), así que,[pic 44][pic 45][pic 46]

   para   [pic 47][pic 48]

Y se demostrará que si es muestreada  a intervalos de  segundos, la señal  puede ser reconstruida a partir de estas muestras.[pic 49][pic 50]

DEMOSTRACIÓN.

      se extiende en la región finita  (Figura 7.3) y es cero para . Entonces  puede hacerse arbitrariamente periódica, con período igual a , como se muestra en la figura 6.4.[pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55]

[pic 56]

Figura 7.3 Espectro de  frecuencia de la señal .[pic 57]

. Entonces  puede hacerse arbitrariamente periódica, con período igual a , como se muestra en la figura 7.4.[pic 58][pic 59][pic 60]

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