Cobweb Plot.

a 1 Cobweb Plot

Para un mapa en una linea real a travez de una parcela en una orbita – llamada Cobweb Plot (parcela telaraña)- puede ser usada para seguir una técnica grafica. El boceto grafico de la función F junto con una línea diagonal y = x. En la figura 1.1 el ejemplo f(x) = 2x y la diagonal esta en el boceto Lo primero que se desprende de esa imagen es la ubicación de puntos fijos de f. De cualquier intersección de y = f(x) con la línea x =y,

Fig 1.1

La línea de puntos intermitentes es una parcela telaraña, un camino que muestra la producción de una trayectoria.

El valor de x y la salida f(x) son idénticos, tales que x es un punto fijo.

La figura 1.1 muestra que el único punto fijo de f(x) = 2x es x=0.

Dibujar la órbita de una condición inicial se realiza de la siguiente manera. Iniciando con un valor de entrada de x=0.01 in la figura 1.1 la salida de su valor es 0.02, siguiendo asi a encontrar que f(.02), esto es necesario a considerar que el nuevo valor de entrada es 0.02, Con el fin de convertir un valor de salida en un valor de entrada, trazando una linea horizontal a partir de la entrada-salida (.01,.02,) hacia la línea diagonal y=x en la figura 1.1 hay un segmento de línea punteada vertical a partir de x = .01, representando la evaluacion de la funcion y después un segmento de linea punteada en forma horizontal que de hecho se convierte el resultado en una entrada de manera que el proceso se puede repetir

A continuación, volviendo a empezar con el nuevo valor de x .02, y dibujar un nuevo par de verticales y segmentos horizontales punteadas. Tenemos f (f (.01)) = f (.02)= .04 en el gráfico de f, y se mueven horizontalmente para la posición de entrada. Continua en esta manera, una historia gráfica de la órbita {.01, .02, .04,...} es construido por una ruta de la línea de puntos de segmentos.

Un ejemplo mas interesante es el mapa g(x)= 2x (1-x). Primero encontraremos puntos fijos para resolver la ecuación x = 2x (1-x). hay dos soluciones, x =0 y x=1/2 en el cual tenemos dos puntos fijos de g, esto contrasta con un mapa linear, excepto para el caso identidad f(x)=x, que tiene un punto fijo x=0. ¿Cuál es el comportamiento de las órbitas de g? La representación grafica de la orbita en los valores iniciales x=.1 es señalado en la figura:

Fig1.2

Cobweb Plot apara una orbita de g(x) = 2x (1-x).

Se desprende de la figura que la órbita, en lugar de divergentes hasta el infinito, como en la Figura 1.1, está convergiendo al punto fijo x = 1 / 2

Así pues, la condición inicial con la órbita x = 0,1 se queda atascado, y

no podra moverse más allá del punto fijo x = 0.5.A simple regla de oro para seguir

la representación gráfica de una órbita: Si el gráfico está por encima de la línea diagonal

y = x, la órbita se desplazará a la derecha, si el gráfico está por debajo de la línea, la órbita se mueve hacia la izquierda.

Tomemos a f ser el mapa de R dado por f(x)= (3x –x3)/2 la figura 1.3 mostrara una representación grafica de dos orbitas con valores iniciales x=1.6 y 1.8 respectivamente. La exorbita aparece converger en el punto fijo x =1 aparentando el mapa a iterar, esta última converge al punto fijo x = -1.

Figura 1.3 cobweb Plot para dos orbitas de f(x)= (3x-x3)/2

La orbita con valor inicial en 1.65 converge a grado de undirse en 1, la orbita con valor inicial en 1.8 converge a grado de undirse en -1

Los puntos fijos empiezan a encontrarse resolviendo la ecuación f(x) = x. el mapa tiene tres puntos fijos llamados -1,0 y 1, como sea las orbitas empiezan a acercarse pero no precisamente en cada de los puntos fijos actuando de otra manera

n f(x) = 2x g(x) = 2x(1 - x). f(x)=(3x-x3)/2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 0.01

0.02

0.04

0.08

0.16

0.32

0.64

1.28

2.56

5.12 0.0100

0.0198

0.0388

0.0746

0.1381

0.2380

0.3627

0.4623

0.4971

0.4999 0.0100

0.0150

0.0337

0.0505

0.0758

0.1135

0.1695

0.2518

0.3698

0.5294

Comparación de modelo de crecimiento exponencial f(x) = 2x, crecimiento logístico del modelo g(x) = 2x(1 - x). y crecimiento logístico del modelo f(x)=(3x-x3)/2

2 Estabilidad de puntos fijos

La cuestión de la estabilidad es importante porque un sistema del mundo real esta

permanentemente sujeto a pequeñas perturbaciones.

Una buena analogía es que una bola en la parte inferior de un valle es estable,

equilibrada, mientras que una bola en la punta de una montaña es inestable en un

sistema realista debe corresponder a un punto fijo estable

Conceptos de estabilidad de puntos fijos:

Si el punto fijo es inestable, los pequeños errores o perturbaciones en el estado podría causar la órbita de alejarse desde el punto fijo, lo cual no se observa.

Cuando queremos llamar al punto fijo 0 "inestable" es cuando los puntos fijos están muy cerca de 0 y tienden a pasar de 0.

El concepto de "cerca" se hace referencia precisando a todos los números reales en

e una distancia de p como el barrio épsilon e (p).

Definición 1:

Tomemos f ser un mapa de R y dejar que p ser un número real tal que

f (p)= p. Si todos los puntos estan suficientemente cerca de p se sienten atraídos por p, entonces p se llama atracción de punto fijo. Mas precisamente si hay un ε>0 tales que para todas las x en un conjunto cercano Ne(p),limk→ fk(x) =p entonces p tiende a undirse. Si todos los puntos son suficientemente cerca de p seran repelidos de p, entonces p es llamado fuente o punto fijo repelente

Teorema 1.5 dejemos a f ser a un mapa en R, y asumiendo que p es un punto fijo de f:

1.- si |f´(p)|<1 entonces p tendra a undirse

2.- si |f’(p)|>1, entonces p sera una fuente

3 Puntos periódicos

Cambiando la constante a, de proporcionalidad en el logisticmap ga(x)=ax (1-x), cuando a = 3.3 el punto fijo es x =0 y x= 23/33=.696969…, Ahora no hay puntos fijos en

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