Complemento a la Teoria de Conjuntos

Tema correspondiente a la clase del jueves 15 de septiembre.

1.5 COMPLEMENTOS A LA TEORÍA DE CONJUNTOS

1.5.1 Familia de conjuntos

Ocurre a veces que los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos. Para evitar decir “conjunto de conjuntos”, se suele decir ”familia de conjuntos” o “colección de conjuntos” . Utilizaremos letras como

A, B, C,…, para denotar familias o colecciones de conjuntos

Ejemplo:

El conjunto {{a,b,c},{a},{b,c}} es una familia de conjuntos.

Sus elementos son los conjuntos {a,b,c},{a} y {b,c}.

Una colección de conjuntos importante es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.

Operaciones generalizadas: Intersección y Unión

Puesto que la unión e intersección de conjuntos satisfacen las leyes asociativas, los conjuntos A∪B∪C y A∩B∩C están bien definidos cuando A, B, y C son conjuntos. Obsérvese que A∪B∪C contiene aquellos elementos que están en por lo menos uno de los conjuntos A, B, y C, y que A∩B∩C contiene aquellos elementos que están en A, B, y C.

Ejemplo:

Sean A={0,1,a,b,c}, B={0,1,a,c,d} y C={a,b,d,3,6}

Entonces,

• A∪B∪C = {0,1,2,3,6,a,b,c,d}
• A∩B∩C = {a}

En general, podemos considerar uniones e intersecciones de un número arbitrario de conjuntos. Para esto, introducimos las siguientes definiciones.

Definición: 1.5.2 Unión generalizada de conjuntos. La unión de la colección de conjuntos {A1,A2,...,An} es el conjunto de elementos que pertenece a por lo menos un conjunto de la colección.

Si usamos la notación A1∪A2∪...∪An. Para denotar la unión de los conjuntos  A1,A2,...,An o de manera más abreviada, la notación

[pic 1]

Entonces

[pic 2]= {x|x∈Ai para algún i = 1,2,...,n}

Por lo tanto,

x∈[pic 3]si y solamente si x∈Ai para algún i=1,2,...,n

En consecuencia:

x∉[pic 4]si y solamente si x∉Ai para algún i=1,2,...,n

Ejemplo:

• Sean A1={0,1,2}, A2={2,3,4}, A3={2,3,5,6}, A4={1,2,5,7}, A5={2,3,5,7}

Entonces,

[pic 5]

• Sean A1={a,b}, A2={{a,b}}, A3={∅}, A4=∅

Entonces,

[pic 6]

Ahora generalizamos la intersección de conjuntos

Definición: 1.5.3 Intersección generalizada de conjuntos. La intersección de la colección de conjuntos {A1,A2,...,An}, es el conjunto de elementos que pertenece a todos los conjuntos de la colección.

Si usamos la notación A1∩A2∩...∩An. Para denotar la intersección de los conjuntos A1,A2,...,An o de manera más abreviada, la notación

[pic 7]

Entonces,

[pic 8]= {x|x∈Ai para todo i = 1,2,...,n}

Por lo tanto,

x∈[pic 9]si y solamente si x ∈ Ai para todo i = 1,2,...,n

En consecuencia:

x∉[pic 10]si y solamente si x ∉ Ai para todo i = 1,2,...,n

Ejemplo:

• Sean A1={0,1,2}, A2={2,3,4}, A3={2,3,5,6}, A4={1,2,5,7}, A5={2,3,5,7}

Entonces,

[pic 11]

• Sean A1={a,b}, A2={{a,b}}, A3={∅}, A4=∅

Entonces,

[pic 12]

Conjuntos con índices

1.5.4 Familia de Conjuntos con índices

En la última sección al considerar la colección de conjuntos {A1,A2,...,An} tenemos lo que se llama una familia de conjuntos con índices. Si llamamos I={1,2,...,n} entonces vemos que a cada elemento i∈I le corresponde un conjunto Ai. En este caso se dice que I es el conjunto de índices, y que la i suscrita de Ai, es decir, cada i∈I, es un índice de la colección conjuntos.

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