Curvatura Y Sus Aplicaciones

“Cualidad de curvo; desviación continua respecto de la dirección recta”

Real Academia Española ©

Partiendo con la definición de la Real academia española, se puede deducir que la curvatura no es una recta, aunque puede llegar a haber infinidad de rectas tangentes que la toquen. Como las rectas P y Q en la gráfica 3.7

Del punto P al Q se tiene un cambio en el ángulo de la recta tangente con respecto del cambio que se hace en el arco de la curva.

La Curvatura la vemos en todos lados, aunque no lo relacionamos de inmediatamente con las matemáticas, o el cálculo vectorial. Las curvas que vemos cotidianamente sin prestar atención pueden ser los puentes, edificios, y aunque no lo sepamos incluso en un micrófono, puesto que estos tienen, respuesta polar cardioide, y detecta la frecuencia de la voz, y la manera en la que lo detecta se puede representar con la gráfica 3.7.2

La Gráfica presenta cierta curvatura que la hace tan peculiar para detectar la frecuencia de la voz como de otros sonidos.

Una curva tiene componentes como lo son el radio de curvatura ρ y el centro C

Los cuales se determinan del siguiente modo: Se traza la tangente a un punto de la trayectoria y a continuación, se traza la normal. Se toma un punto muy próximo al anterior, se traza la tangente y la normal en dicho punto.

Las normales se cortan en un punto denominado centro de curvatura C, y la distancia de C a uno u otro punto de la trayectoria, infinitamente próximos entre sí, se denomina radio de curvatura ρ.

Si el ángulo comprendido entre las dos tangentes es dθ, este es el ángulo que forman las dos normales. La longitud del arco entre los dos puntos considerados es ds=ρ•dθ .

Dada la función y=f(x), vamos a determinar la fórmula que nos permite calcular el radio de curvatura ρ de la curva en la posición de abscisa x.

Como vemos en la figura, en el triángulo rectángulo de base dx, altura dy e hipotenusa ds, establecemos las siguientes relaciones

tanθ= dy dx   ds= d x 2 +d y 2 = 1+ ( dy dx ) 2 dx

La fórmula del radio de curvatura es

ρ= ds dθ = 1+ ( dy dx ) 2 dx arctan dy dx = 1+ ( dy dx ) 2 dx d 2 y d x 2 dx 1+

( dy dx ) 2 = ( 1+ ( dy dx ) 2 ) 3/2 d 2 y d x 2

El radio de curvatura es una cantidad positiva

Referencia

Puig Adam P. Cálculo Integral Aplicado a la Física y Técnica. Biblioteca Matemática, 1972, Pág. 286-287

...