ERRORES Y ALGORITMOS

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Introducción

Los métodos númericos son una herramienta de análisis muy valiosa en la actualidad. El avance tecnológico de las computadoras ha permitido resolver problemas de gran complejidad, desde la simulación de un fenómeno hasta el estudio de sistemas complejos como la simulación de la evolución de galaxias o análisis de esfuerzos y estabilidad de una aeronave.

El uso de software y el empleo de visualizaciones se combina con el aprendizaje básico de la programación a través de problemas matemáticos aplicables a la ciencia y a la ingeniería mediante el empleo del aprendizaje basado en problemas.

Hay diversas aplicaciones, incluyendo problemas integrados a través de la horizontalidad de los métodos para resolver situaciones complejas. Actualmente, la programación permite comprender la complejidad y la necesidad de resolver determinados problemas mediante la simulación y la programación, aún asistida por esta.

Se puede definir a los métodos numéricos como un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos aritméticos y lógicos como operaciones aritméticas elementales, cálculos de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.

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Desarrollo

1. Errores

Algoritmo

Un algoritmo es un procedimiento que indica la serie de pasos y decisiones que se ejecutan para la solución de un problema. Por lo general, se disponen de varios algoritmos para resolver un problema en particular y uno de los criterios de selección es la estabilidad del mismo, es decir, que a pequeños errores de los valores manejados se obtengan pequeños errores en los resultados finales.

Pseudocódigo

Es un código falso (pseudo=falso) que esta escrito para que lo entienda el ser humano y no la máquina, se utilizan para poder describir los algoritmos y básicamente especifica la forma de entrada por proporcionar y la forma de salida deseada. Su principal función es la de representar por pasos la solución a un algoritmo de la forma más detallada posible utilizando un lenguaje cercano al de programación.

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Aproximación Numérica

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

Se entiende por aproximación numérica X* una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida que en la cifra X* se acerca mas al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número (e.g. 3.1416 es una aproximación numérica de π)

Inherente

Son errores que existen en los valores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones, por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproximada de la representación, mediante un número finito de dígitos, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el número de dígitos permisible. Por ejemplo el valor calculado es el de un número irracional como π o .[pic 5]

Truncamiento

Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos.

Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el seno de cualquier ángulo X, expresado en radianes:

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Redondeo

Estos errores se introducen en los procesos de computación por el hecho de que las computadoras trabajan con un número finito de dígitos después del punto decimal y tienen que redondear.

Error Absoluto

El error absoluto de una medida (εa) es la diferencia entre el valor real de la medida (X) y el valor que se ha obtenido en la medición (Xi). 

εa=X−Xi

El error absoluto puede ser un valor positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior y además tiene las mismas unidades que las de la medida.

Error Relativo

Es el cociente entre el error absoluto y el valor que consideramos como exacto (la media). Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo porque puede se puede producir por exceso o por defecto y al contrario que él no viene acompañado de unidades. 

εr=εaX

De igual forma, se puede multiplicar por 100 obteniéndose así el tanto por ciento (%) de error.

εr=εaX⋅100 %

Como ejemplo podemos calcular el error relativo sobre nuestro ejemplo.  De esta forma obtenemos que:

εr=9.625⋅10−33.4875⋅100 %=0.27 %

Error de Redondeo en Punto Flotante

Como los números de punto flotante tienen un número de dígitos limitado, no pueden representar todos los números reales de forma precisa: cuando hay más dígitos de los que permite el formato, los que sobran se omiten ─ el número se redondea. Hay tres razones por las que esto puede ser necesario:

• Denominadores grandes - En cualquier base, cuanto mayor es el denominador de una fracción (irreducible), más dígitos se necesitan en notación posicional. Un denominador lo suficientemente grande necesitará redondeo, no importa qué base o número de dígitos disponible haya. Por ejemplo, 1/1000 no se puede representar de manera precisa en menos de 3 dígitos decimales, ni ningún múltiplo suyo (que no permita simplificar la fracción)

• Dígitos periódicos - Cualquier fracción (irreducible) donde el denominador tenga un factor primo que no esté en la base requiere un número infinito de dígitos que se repiten periódicamente a partir de un cierto punto. Por ejemplo, en decimal 1/4, 3/5 y 8/20 son finitos, porque 2 y 5 son los factores primos de 10. Pero 1/3 no es finito, ni tampoco 2/3 o 1/7 o 5/6, porque 3 y 7 no son factores primos de 10. Las fracciones con un factor primo de 5 en el denominador pueden ser finitas en base 10, pero no en base 2 ─ la mayor fuente de confusión para los principiantes en los números de punto flotante
• Números no racionales - Los números irracionales no se pueden representar como una fracción regular, y en notación posicional (no importa en qué base) requieren un número infinito de dígitos no periódicos

Diferencia entre Exactitud y Precisión

La exactitud es la cercanía entre un valor medido y el valor verdadero (podríamos decir que la exactitud es una forma de considerar el error de medida).

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