Estabilidad en sistemas BIBO

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Objetivos

• Emplear el criterio de Routh-Hurwitz para determinar la estabilidad de un sistema condicionado a ganancias extraordinarias al mismo.
• Probar linealización de un sistema con parámetros iniciales varios y determinar su validez para un sistema específico.

Marco teórico

Estabilidad en sistemas BIBO

La estabilidad es una característica de los sistemas BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) que permite tener la salida del sistema acotada en una región conocida sin importar la entrada proporcionada. Existen métodos para determinar si un sistema es estable mediante la ubicación de las raíces del mismo, un ejemplo es la aplicación del teorema de Routh-Hurwitz.

Criterio de Routh-Hurwitz

Es un método que se emplea para encontrar la posición de las raíces de un sistema que tenga todos los coeficientes positivos en el denominador.

Función de prueba

Se propone la función de transferencia  y se pretende encontrar un valor de ganancia K tal que el sistema sea estable. Se comienza por obtener la función de transferencia a lazo cerrado, que está determinada por la fórmula , donde se tiene una retroalimentación directa, por lo que .[pic 2][pic 3][pic 4]

Por lo tanto, la FTCL a utilizar para el criterio de Routh-Hurwitz es

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De los cuales se obtienen los coeficientes del cálculo del arreglo de  Routh-Hurwitz siguientes

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Donde se busca que la primera columna no tenga cambios de signo, por lo que se consideran las desigualdades siguientes

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Si consideramos que , tenemos pues que la desigualdad que aporta información sobre  es , que no se indetermina por valores de  en el denominador, que además es siempre positivo, por lo tanto:[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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Donde las raíces del polinomio se encuentran en

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Al comprobar las raíces y correspondiente a la forma geométrica que describen, se tiene que la región de  donde el sistema es estable es .[pic 16][pic 17]

Linealización

La linealización es una aproximación que se tiene para funciones que pueden ser descritas adicionando un porcentaje de error, con una función lineal en una región determinada. La forma de calcular la aproximación lineal es entonces:

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Modelo del péndulo simple

El péndulo simple puede ser modelado mediante las ecuaciones de LaGrange de la siguiente forma[pic 19]

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Donde  corresponde a una fuerza externa aplicada al péndulo,  representa la posición angular del péndulo y  la aceleración angular del mismo.[pic 21][pic 22][pic 23]

Si suponemos que el péndulo a modelar tiene una posición inicial diferente de cero y ningún impulso externo interfiere, podemos reescribir la ecuación de la forma

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Si aplicamos la linealización para valores de  muy cercanos a cero, tenemos[pic 25]

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Desarrollo

Ganancia K

En el software Matlab con la herramienta Simulink se traza el diagrama a bloques que corresponde al sistema propuesto. 

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Mediante gráficas de las funciones de respuesta, podemos comparar las gráficas para los distintos valores de ganancia en el sistema

K=0.5

[pic 28]Respuesta de la señal para ganancia de 0.5 en tiempo máximo de 150, se observa que el orden de la imagen es de 1x105

[pic 29] Respuesta de la señal para ganancia de 0.5 en tiempo máximo de 40, se observa que el orden de la imagen es de 1x101

[pic 30] Respuesta de la señal para ganancia de 0.5 en tiempo máximo de 20, se observa que el orden de la imagen es de 1x100

K=2/3

[pic 31]Respuesta de la señal para ganancia de 2/3 en tiempo máximo de 150, se observa que el orden de la imagen es de 1x100

[pic 32]Respuesta de la señal para ganancia de 2/3 en tiempo máximo de 40, se observa que el orden de la imagen es de 1x100

[pic 33]Respuesta de la señal para ganancia de 2/3 en tiempo máximo de 20, se observa que el orden de la imagen es de 1x100

K=1

[pic 34] Respuesta de la señal para ganancia unitaria en tiempo máximo de 150, se observa que el orden de la imagen es de 1x100 y tiende a reducirse a cero.

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