Estabilidad BIBO (Bounded Input, Bounded Output)

Estabilidad BIBO

Yasser A. Manríquez Chávez UPIITA, Instituto Politécnico Nacional CDMX, México ymanriquezc1500@alumno.ipn.mx

1. INTRODUCCIÓN

En esta práctica se comprobará la teoría de establecer la estabilidad según BIBO de manera gráfica, Primero con un sistema lazo abierto, el cual servirá para determinar la estabilidad del sistema de manera gráfica haciendo uso de MatLab, en el segundo ejercicio se mostrara las alteraciones que tiene el sistema cuando se usan valores cercanos al del oscilatorio y cuando se usan valores muy alejados. Todo esto con ayuda del software MatLab y Simulink. También se reforzara el algebra de bloques.

>> plot(out.t,out.y)

>> grid

1. DESARROLLO[pic 1]

1. Primer ejercicio.

Haciendo uso de Simulink, se pretende establecer si la función de transferencia es estable según BIBO.

s + 1

𝐹. 𝑇. = s2 + 5𝑠 + 6[pic 2]

Sabemos que un sistema es BIBO estable si para toda entrada acotada se tiene una salida también acotada. [1]

1. Simulación.

En el entrono de Simulink procedemos a realizar el diagrama de bloques de nuestro sistema, estableciendo una ganancia igual a 1, un tiempo de muestra de 0.01 para las salidas durante un tiempo de 10.

[pic 3]

Fig. 1 Diagrama de bloques del ejercicio uno.

Los bloques, to workspace, se encargan de mandar las muestras a nuestro workspace de MatLab, de manera que podemos verificar esto introduciendo en el command window el nombre de la variable.

>>out.y        para la salida del sistema.

>>out.t        para la salida del tiempo.

Para obtener la gráfica de la respuesta del sistema, en command window introducimos el comando plot y el comando grid, para observar la cuadricula, y así obtenemos la figura 2.

Fig. 2 Gráfica de señal de salida del sistema.

Procedemos a establecer la etiqueta del eje x y eje y, así como los valores cuando tenemos ymax(t) , figura 3.

[pic 4]

Fig. 3 Gráfica de señal de salida de sistema con etiquetas en ejes y mostrando los valores en el punto que y(t) tiene su valor máximo.

También podemos obtener el valor máximo de y en el command window, introduciendo el comando max.

>> max(out.y) ans =

0.2083

1. Interpretación de resultados.

De la gráfica obtenida con la simulación podemos deducir que y(t) es acotada, con lo que obtenemos que.

𝑠𝑖 𝑢(𝑡) = 1 ,

0 ≤ 𝑦 ≤ 0.20832,

El sistema es estable según BIBO. Porque la entrada y salida son acotadas.

1. Segundo ejercicio.

Con el uso de Simulink se pretende graficar la salida del siguiente sistema de control lazo cerrado, figura 4.

[pic 5]

Fig. 5 Diagrama de bloques en Simulink.

Podemos observar como la ganancia se determina con la constante K, para realizar la simulación es necesario asignarle un valor a esta en el workspace.

1. Sistema oscilatorio: Primero simularemos el sistema en estado oscilatorio, para eso asignamos el valor correspondiente a k en command window.

>> K=6/1.9 K =

Fig. 4 Diagrama de bloques del ejercicio 2.[pic 6]

Podemos deducir haciendo uso de algebra de bloques que la función de transferencia es igual a:

𝑘(0.1𝑠 + 4)

[pic 7]

𝑠3 + 2𝑠2 + (0.1𝑘 + 10)𝑠 + 4𝑘 + 8

Haciendo uso del Teorema de Routh-Hurwitz, mostrado en la tabla I.

Tabla I

Aplicación de teorema de Routh-Hurwitz.

[pic 8]

Observamos que existen tres opciones de respuesta, mostradas en la tabla II.

Tabla II

Clasificación de sistema según valor de k.[pic 9]

1. Simulación.[pic 10][pic 11]

Para llevar a cabo la simulación, es necesario replicar el diagrama de bloques en Simulink, figura 5.

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