LOGICA MATEMATICA

INFERENCIAS LOGICAS

Para definir las inferencias lógicas es necesario precisar algunos conceptos

Tales como razonamiento y demostración.

Razonamiento es el proceso que se realiza para obtener una demostración.

Demostración es el encadenamiento de proposiciones que permiten obtener

Otra proposición, llamada conclusión, a partir de ciertas proposiciones iníciales

Supuestas como verdaderas, que reciben el nombre de premisas.

En la sección se hará un análisis más detallado de la demostración. Las inferencias lógicas son las conclusiones que se pueden obtener después de realizar un razonamiento, este razonamiento solamente es verdadero si se

Cumplen las siguientes condiciones 1. Las premisas deben ser verdaderas.

2. Durante el proceso de deducción las premisas deben relacionarse

Sujetas a las leyes de la lógica

Así, el conocimiento obtenido de proposiciones verdaderas preestablecidas

(premisas), y aplicando las leyes de la lógica a esas premisas, se denomina

Conclusión.

Las reglas de inferencia lógica son:

2.9.1 Modus Ponendo Ponens (MPP)

Este método de inferencia establece que si una implicación es cierta y además

También lo es su antecedente, entonces su consecuente es necesariamente

Verdadero; de forma simbólica esto se expresa así:

[ ( p → q ) Λ p ] → q

Ejemplo 1

Premisa 1. Si x + y = z, entonces, y + x = z.

Premisa 2. x + y = z

Conclusión. y + x = z

Simbólicamente, si p: x + y = z

q: y + x = z

Entonces: Premisa 1. p → q

Premisa 2. p

Conclusión. q

Ejemplo 2

Premisa 1. ~ p → s

Premisa 2. ~ p

Conclusión. s

Ejemplo 3

Premisa 1. ~ r → ~ t Λ s

Premisa 2. ~ r

Conclusión. ~ t Λ s

DEMOSTRACIÓN

La demostración es un razonamiento que prueba la validez de un nuevo

conocimiento; es el enlace entre los conocimientos recién adquiridos y los

conocimientos anteriores. Los procedimientos de demostración permiten

establecer la conexión lógica entre las proposiciones fundamentales de la

teoría, sus consecuencias sucesivas, hasta deducir la conclusión o tesis que

así se demuestra.

Los principales tipos de demostración son:

Demostración directa.

La demostración directa de una proposición t (teorema) es un conjunto de

proposiciones o premisas que son postulados o proposiciones de validez

aceptada y de las cuales se infiere t como consecuencia inmediata

Ejemplo 1.

Dadas las premisas: 1. p → ∼q

2. r → q

Concluir t. p → ∼r

Demostración: Puesto que r → q es equivalente a ∼ q → ∼ r, se tiene la

Premisa 3. ∼ q → ∼ r, ahora, de las premisas 1 y 3 se puede concluir t, es

Decir, como p → ∼q y ∼ q → ∼ r, entonces, p → ∼r.

Ejemplo 2

Demostrar que si x es impar, entonces que x2 es impar. El enunciado genera

las siguientes premisas:

1. x es impar

2. x = 2n+ 1, donde n es un entero

Hay que demostrar que x2 = (2n + 1)2 es impar.

Demostración:

Si x es impar, entonces x = 2n + 1, entonces x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1, esta

Expresión se puede escribir de la forma 2(2n2 + 2n) + 1, tomando el término

2n2 + 2n como el entero m, se tiene que

x2 = (2n + 1)2 = 2m + 1, es decir , x2 es un número impar

Demostración indirecta.

Se realiza una demostración indirecta cuando se establece la validez de una

tesis t probando que las consecuencias de su contraria son falsas.

Ejemplo 1.

Construir la demostración indirecta de:

Si x2 es par, entonces x es par, (con x entero)

Suponga que existe al menos un entero x tal que x2 es par y x es impar. Por

el ejemplo 2 analizado en la demostración directa, se sabe que si x es impar,

entonces x2 es impar, luego es imposible que x sea impar y que x2 sea par.

Esta es la contradicción buscada

Demostración por recursión

Es Cuando la tesis se prueba por medio de inducción matemática

Ejemplo 1.

Este tipo de demostraciones se utilizan cuando los enunciados tienen una

proposición abierta en una variable n, y es necesario demostrar que tal

proposición se verifica para todos los elementos n que pertenecen a un

subconjunto infinito dado sobre los números enteros, el axioma de la inducción

matemática es el siguiente:

Dado un conjunto de números enteros A = {n / n ≥ a} y una proposición de la

forma P(n), se puede demostrar la verdad de esta proposición estableciendo

los siguientes pasos:

I. P(a) es verdadera cuando se sustituye n por a en P(n)

II. Se supone que la proposición P(n) es verdad para todo k del conjunto A,

es decir, P(k) es verdadera, a esta proposición, se le llama HIPÓTESIS DE

INDUCCIÓN.

III. Se demuestra que para el siguiente término al k-ésimo, osea k+1, P(k+1)

es verdadera.

Demostración por refutación

Es el razonamiento que prueba la falsedad de una hipótesis o la

inconsecuencia de su supuesta demostración; los métodos de refutación son la

refutación por contradicción y la refutación por contraejemplo

Ejemplo 1.Refutación por contradicción:

Refutar la proposición “el cuadrado de todo número impar es un número par”

Como todo número impar se puede escribir de la forma 2n + 1, donde n es un

entero, y puesto que todo número par se puede escribir en la forma 2m, con m

un entero, la proposición dada implica que:

(2n + 1)2 = 2m para algún n y algún m

o, 4n2 + 4n + 1 = 2m

Se supone que ambos miembros deben representar el mismo entero, pero el

miembro de la izquierda no es divisible por 2, mientras que el de la derecha si

es divisible por 2. Esto es una contradicción evidente y, por lo

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