Mecanica De Fluidos

vUNIDAD 2 HIDROSTATICA

2.1 Ecuación fundamental de la hidrostática.

Cuando una parcela de fluido se encuentra en equilibrio, la resultante de las fuerzas de volumen y de superficie que actúan sobre ella debe ser nula. Si expresamos esta condición por unidad de volumen, esto significa que en el equilibrio se debe cumplir.

f=∇∙σ=0 (2.1)

En un fluido en reposo el tensor de los esfuerzos tiene la forma σ_ij=-〖pδ〗_ij por lo tanto la condición (2.1) se escribe.

f=∇p (2.2)

Si la fuerza por unidad de volumen f se debe a la gravedad tendremos f = ρg . La ec. (2.2) se denomina ecuación fundamental de la hidrostática.

2.2 Fuerzas sobre superficies sumergidas.

Consideremos una placa plana de forma arbitraria que se encuentra sumergida completamente en el líquido, como se muestra en la figura.

Valor de la fuerza resaltante.

Tomamos como sistema de referencia el sistema de coordenadas [x, y] centrado en el centro de gravedad de la Superficie. La fuerza total actúa sobre las placas como.

F_A=∫▒A pdA=∫▒A (patm+pgh)=patmA+pg ∫▒A hdA

Si tenemos en cuenta que h=ε senθ y queθ se mantiene constante sobre la placa, la fuerza queda como.

F_A=〖Ap〗_atm+pg∫▒A εsen θdA=〖Ap〗_atm+pg senθ ∫▒A εdA

Ahora bien si recordamos la definición del centro de gravedad 〖Aε〗_cg=∫_A εdA la expresión se convierte en.

F_A=Ap_atm+pg sen θ〖Aε〗_cg Ap_atm+pg〖Ah〗_cg=(p_atm+pgh_cg )A

O simplemente

F_A=p_cg A

La fuerza total que actúa sobre una superficie plana cualquiera sumergida en un fluido uniforme es igual a la presión que hay en el centro de gravedad de dicha superficie multiplicada por su área, con independencia de la forma de la superficie plana o de su inclinación.

Punto de aplicación de la fuerza resultante. Imaginemos un recipiente que contiene un líquido y sobre éste una superficie A libre que encaje perfectamente en la pared del recipiente. Al poder moverse la superficie, ésta será empujada por el líquido y se saldrá. Para evitarlo habría que aplicar sobre la superficie una fuerza normal a la misma de magnitud la fuerza que ejerce el líquido sobre la superficie. Para que además la superficie no gire, esta fuerza debe aplicarse en un punto determinado de forma que el momento total del sistema de fuerzas ejercido por el líquido sobre la superficie se compense con el momento de la fuerza equivalente aplicada en ese punto. Este punto es el centro de presiones.

Cuanto mayor es la profundidad, mayor es la presión. Por tanto, el punto de actuación de la fuerza total resultante (centro de presiones) no coincide con el centro de gravedad, sino que debe encontrarse más abajo. La línea de acción de esta fuerza debe pasar precisamente por este centro de presiones. Para calcular la posición (x_cp, y_cp) del centro de presiones se suman los momentos de las fuerzas elementales pdA respecto del centro de gravedad y se igualan con el momento (respecto del centro de gravedad) de la fuerza resultante aplicada en el centro de presiones. Obtengamos esto para cada una de las componentes,

Eje x: La componente del momento en la dirección x viene dada por

F • ycp =∫_A ypdA (2–17)

Como p = p_atm + ρgξ sen θ se tiene a su vez que

F • ycp =∫_A ypdA =∫_A y(p _atm+ ρgξ sen θ)dA = p_atm ∫_A ydA + ρg sen 8 yξdA

El primer sumando es cero por la definición del centro de gravedad, y como y = ξcg - ξ se tiene,con ξ = 〖 ξ〗_CG-y

F • ycp =pgsenθ [ξ_(cg ) ∫_A ydA-∫_A y^2 dA]

De nuevo el primer sumando es cero por la definición de centro de gravedad de una superficie, por lo que la componente x del momento es.

F • y_cp=-psenθI_αα

Con

I_xx=∫_A y^(2 ) dA

El denominado momento de inercia de la sección plana (del área de la placa) respecto de su eje horizontal x, calculado en el plano de la placa. Como

F = p_cg A, la distancia en el plano de la placa a la que se encuentra el centro de presiones respecto del centro de gravedad, viene dada por

y_cp=pgsenθ/F I_xx=-pgsenθ/(p_cg A) I_xx

El signo − indica que el centro de presiones está por debajo del centro de gravedad, y como se puede ver, esta posición depende de la inclinación θ. Al aumentar la profundidad a la que se encuentra la placa, y_cp se acerca al centro de gravedad, ya que todos los factores que intervienen en 2–20 permanecen constantes excepto p_cg que aumenta.

2.3 Principios de Arquímedes

Sea un cuerpo de volumen V limitado por la superficie S, sumergido en un fluido en reposo cuya densidad es . La fuerza que el fluido ejerce sobre el cuerpo, denominada empuje, vale.

E=-∫▒s pndS (2.3)

Aquí n es la normal exterior del elemento de superficie ds del cuerpo. Por otra parte, la presión en el fluido está determinada por la condición de equilibrio.

∇p-pg=0 (2.4)

Consideremos un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido en reposo (líquido o gas). Este fluido ejerce presiones sobre todas las partes de la superficie del cuerpo, mayor cuanto mayor es la profundidad. Se denomina empuje sobre el cuerpo sumergido a la fuerza total hacia arriba ejercida por el agua. Calculemos el valor de esta fuerza. Si se considera la superficie cerrada que delimita el cuerpo sumergido, la presión en cada punto de esa superficie dará lugar a una distribución de fuerzas cuya resultante es precisamente el empuje que estamos calculando. Consideremos ahora que en el recipiente hubiera el mismo fluido y hasta el mismo nivel que cuando estaba el cuerpo y dentro de este fluido una superficie cerrada imaginaria que coincida con la superficie exterior del cuerpo que está sumergido en el caso real. Como la presión depende únicamente de la profundidad, la presión en todos los puntos de esta superficie imaginaria es la misma que había

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